Номер 1107, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Последовательности

1107. a) Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 3, ни на 5?
б) Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 6, ни на 8?

а) Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, которые не делятся ни на 3, ни на 5, мы используем принцип включений-исключений. Сначала определим, сколько чисел делится хотя бы на одно из этих чисел (на 3 или на 5), а затем вычтем это количество из общего числа (100).

1. Найдём количество чисел, делящихся на 3. Для этого разделим 100 на 3 и возьмём целую часть от деления:
$N_3 = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

2. Найдём количество чисел, делящихся на 5:
$N_5 = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

3. Числа, которые делятся и на 3, и на 5 одновременно, были посчитаны дважды. Эти числа делятся на их наименьшее общее кратное, НОК(3, 5) = 15. Найдём их количество:
$N_{15} = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$

4. Количество чисел, делящихся на 3 или на 5, равно сумме $N_3$ и $N_5$ минус их общая часть $N_{15}$:
$N_{3 \text{ или } 5} = N_3 + N_5 - N_{15} = 33 + 20 - 6 = 47$

5. Теперь найдём количество чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, вычитая 47 из общего количества чисел (100):
$100 - 47 = 53$

Ответ: 53

б) Аналогично решим задачу для чисел, не делящихся ни на 6, ни на 8.

1. Найдём количество чисел, делящихся на 6:
$N_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

2. Найдём количество чисел, делящихся на 8:
$N_8 = \lfloor \frac{100}{8} \rfloor = 12$

3. Найдём количество чисел, делящихся и на 6, и на 8. Эти числа делятся на наименьшее общее кратное НОК(6, 8). Разложим 6 и 8 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$. Тогда НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$. Количество чисел, делящихся на 24, равно:
$N_{24} = \lfloor \frac{100}{24} \rfloor = 4$

4. Количество чисел, делящихся на 6 или на 8, равно:
$N_{6 \text{ или } 8} = N_6 + N_8 - N_{24} = 16 + 12 - 4 = 24$

5. Количество чисел, которые не делятся ни на 6, ни на 8, равно:
$100 - 24 = 76$

Ответ: 76