Номер 1102, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1102. а) $\frac{5x + 2}{3x^2 + 1} < \frac{x + 6}{3x^2 + 1}$;

б) $\frac{3x - 5}{6x^2 + 7} > \frac{x - 1}{6x^2 + 7}$;

в) $\frac{x^2 + 1}{2x - 3} > \frac{x^2 + 1}{3x - 2}$;

г) $\frac{x^2 + 4}{3x - 5} < \frac{x^2 + 4}{5x - 3}$;

д) $\frac{x^2}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 1}$;

е) $\frac{x^2}{x + 2} \le \frac{9}{x + 2}$.

а)

Решим неравенство $ \frac{5x + 2}{3x^2 + 1} < \frac{x + 6}{3x^2 + 1} $.

Знаменатель дробей $3x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, следовательно, $3x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку знаменатель положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$5x + 2 < x + 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - x < 6 - 2$

$4x < 4$

Разделим обе части на 4:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{3x - 5}{6x^2 + 7} > \frac{x - 1}{6x^2 + 7} $.

Знаменатель дробей $6x^2 + 7$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $6x^2 + 7 \ge 7$.

Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $6x^2 + 7$:

$3x - 5 > x - 1$

Сгруппируем переменные и константы:

$3x - x > -1 + 5$

$2x > 4$

Разделим обе части на 2:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

в)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + 1}{2x - 3} > \frac{x^2 + 1}{3x - 2} $.

Числитель дробей $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку числитель положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$ \frac{1}{2x - 3} > \frac{1}{3x - 2} $

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{1}{2x - 3} - \frac{1}{3x - 2} > 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(3x - 2) - (2x - 3)}{(2x - 3)(3x - 2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3x - 2 - 2x + 3}{(2x - 3)(3x - 2)} > 0 $

$ \frac{x + 1}{(2x - 3)(3x - 2)} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

$2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале. Точки $x = \frac{3}{2}$ и $x = \frac{2}{3}$ выколотые, так как они обращают знаменатель в ноль.

Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

• При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$): $\frac{2+1}{(4-3)(6-2)} = \frac{3}{4} > 0$. Интервал подходит.
• При $\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=1$): $\frac{1+1}{(2-3)(3-2)} = \frac{2}{-1} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-1 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{(-3)(-2)} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2+1}{(-4-3)(-6-2)} = \frac{-1}{56} < 0$. Интервал не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-1, \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + 4}{3x - 5} < \frac{x^2 + 4}{5x - 3} $.

Числитель $x^2 + 4$ всегда положителен ($x^2 + 4 \ge 4$). Разделим обе части на него:

$ \frac{1}{3x - 5} < \frac{1}{5x - 3} $

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{3x - 5} - \frac{1}{5x - 3} < 0 $

$ \frac{(5x - 3) - (3x - 5)}{(3x - 5)(5x - 3)} < 0 $

$ \frac{5x - 3 - 3x + 5}{(3x - 5)(5x - 3)} < 0 $

$ \frac{2x + 2}{(3x - 5)(5x - 3)} < 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$

$3x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$

$5x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$

Отметим точки $-1$, $\frac{3}{5}$, $\frac{5}{3}$ на числовой прямой и определим знаки.

• При $x > \frac{5}{3}$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)+2}{(6-5)(10-3)} = \frac{6}{7} > 0$.
• При $\frac{3}{5} < x < \frac{5}{3}$ (например, $x=1$): $\frac{2(1)+2}{(3-5)(5-3)} = \frac{4}{(-2)(2)} < 0$. Интервал подходит.
• При $-1 < x < \frac{3}{5}$ (например, $x=0$): $\frac{2}{( -5)( -3)} = \frac{2}{15} > 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{2(-2)+2}{(-6-5)(-10-3)} = \frac{-2}{(-11)(-13)} < 0$. Интервал подходит.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{3}{5}, \frac{5}{3})$.

д)

Решим неравенство $ \frac{x^2}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 1} $.

Область допустимых значений: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x^2}{x - 1} - \frac{4}{x - 1} \ge 0 $

$ \frac{x^2 - 4}{x - 1} \ge 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 1} \ge 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 2$, $x = -2$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=2$ и $x=-2$ включаем (закрашенные), так как неравенство нестрогое. Точку $x=1$ исключаем (выколотая).

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
• При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Учитывая, что точки $x=-2$ и $x=2$ являются решениями, получаем объединение интервалов.

Ответ: $x \in [-2, 1) \cup [2, +\infty)$.

е)

Решим неравенство $ \frac{x^2}{x + 2} \le \frac{9}{x + 2} $.

Область допустимых значений: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x^2}{x + 2} - \frac{9}{x + 2} \le 0 $

$ \frac{x^2 - 9}{x + 2} \le 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 2} \le 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 3$, $x = -3$. Нуль знаменателя: $x = -2$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=3$ и $x=-3$ включаем, точку $x=-2$ исключаем.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал подходит.

Учитывая, что точки $x=-3$ и $x=3$ являются решениями, получаем объединение интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (-2, 3]$.