Номер 1097, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1097. Напишите неравенство второй степени с одним неизвестным, множество решений которого изображено на рисунке 95.

+ - +

$ -1 $ $ 3 $ $ x $

+ - +

$ -5 $ $ -1 $ $ x $

Рис. 95

Для левого графика:

На графике изображено множество решений $x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty)$. Это означает, что соответствующая квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ положительна на этих интервалах.

Точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ являются корнями квадратного уравнения, соответствующего неравенству. Поскольку точки на графике выколоты (незакрашенные кружки), неравенство является строгим (используются знаки $>$ или <).

Квадратный трехчлен с корнями $x_1$ и $x_2$ можно записать в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставив наши корни, получаем: $a(x - (-1))(x - 3) = a(x + 1)(x - 3)$.

Из знаков на рисунке следует, что на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; \infty)$ выражение положительно. Это соответствует параболе, ветви которой направлены вверх. Следовательно, старший коэффициент $a$ должен быть положительным. Для простоты выберем $a=1$.

Таким образом, неравенство имеет вид $(x + 1)(x - 3) > 0$. Чтобы привести его к стандартному виду $ax^2+bx+c>0$, раскроем скобки: $x^2 - 3x + x - 3 > 0$ $x^2 - 2x - 3 > 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 3 > 0$.

Для правого графика:

На графике изображено множество решений $x \in (-5; -1)$. Это означает, что соответствующая квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ отрицательна на этом интервале.

Точки $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения. Точки выколоты, значит, неравенство строгое.

Квадратный трехчлен с данными корнями можно записать в виде: $a(x - (-5))(x - (-1)) = a(x + 5)(x + 1)$.

Решением является интервал, где функция отрицательна (знак "–"). Знаки "+" на интервалах $(-\infty; -5)$ и $(-1; \infty)$ показывают, что ветви параболы направлены вверх. Следовательно, коэффициент $a$ должен быть положительным. Для простоты выберем $a=1$.

Таким образом, неравенство имеет вид $(x + 5)(x + 1) < 0$. Раскроем скобки для получения стандартного вида: $x^2 + x + 5x + 5 < 0$ $x^2 + 6x + 5 < 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 5 < 0$.