Номер 1093, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (1093–1096):

1093. а) $x^2 - 4x > 0;$

б) $x^2 + 3x \le 0;$

в) $3x^2 - x < 0;$

г) $4x^2 + x \ge 0;$

д) $x^2 - 9 < 0;$

е) $x^2 - 4 \ge 0.$

а) $x^2 - 4x > 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$. Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

б) $x^2 + 3x \le 0$. Решим уравнение $x^2 + 3x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 0$. График функции $y = x^2 + 3x$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[-3, 0]$.
Ответ: $x \in [-3, 0]$.

в) $3x^2 - x < 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - x = 0$. Выносим $x$: $x(3x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/3$. График функции $y = 3x^2 - x$ — это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0). Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая концы. Таким образом, решение — это интервал $(0, 1/3)$.
Ответ: $x \in (0, 1/3)$.

г) $4x^2 + x \ge 0$. Сначала решим уравнение $4x^2 + x = 0$. Выносим $x$: $x(4x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = -1/4$ и $x_2 = 0$. График функции $y = 4x^2 + x$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни. Решение представляет собой объединение двух лучей: $(-\infty, -1/4]$ и $[0, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/4] \cup [0, +\infty)$.

д) $x^2 - 9 < 0$. Решим уравнение $x^2 - 9 = 0$. Это разность квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. График функции $y = x^2 - 9$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями. Следовательно, решение — это интервал $(-3, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

е) $x^2 - 4 \ge 0$. Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Разложим на множители как разность квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. График функции $y = x^2 - 4$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая концы. Решение — это объединение лучей $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.