Номер 1094, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1094. a) $x^2 - 5x + 4 > 0;$

в) $x^2 + 5x + 4 \geq 0;$

д) $3x^2 - 2x - 5 > 0;$

б) $x^2 + 6x - 7 < 0;$

г) $x^2 - 6x - 7 \leq 0;$

e) $2x^2 + 3x + 1 < 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Либо можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$, $x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=4$.
Неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется на тех интервалах, где график параболы находится выше оси абсцисс. Это происходит при $x < 1$ и при $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 + 6x - 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.
Через дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$.
$x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7$, $x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 6x - 7$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями, то есть на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-7; 1)$.

в) Решим неравенство $x^2 + 5x + 4 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.
Через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$, $x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 5x + 4$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \geq 0$ выполняется на интервалах, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Поскольку неравенство нестрогое, сами корни включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-1; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 - 6x - 7 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.
Через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.
$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$, $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.
Ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \leq 0$ выполняется между корнями и в самих корнях, то есть на отрезке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс.
Ответ: $x \in [-1; 7]$.

д) Решим неравенство $3x^2 - 2x - 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 8}{6}$.
$x_1 = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$, $x_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 5$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $y > 0$ выполняется на интервалах, где парабола находится выше оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

е) Решим неравенство $2x^2 + 3x + 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$, $x_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x + 1$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями, то есть на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-1; -0.5)$.