Номер 1091, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1091. Среди положительных чисел найдите число x, при котором значение функции y является наименьшим, если:

а) $y = x + \frac{1}{x}$;

б) $y = 9x + \frac{1}{x}$;

в) $y = x + \frac{1}{4x}$;

г) $y = 4x + \frac{1}{25x}$.

Для нахождения числа $x$, при котором значение функции $y$ является наименьшим, воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Равенство, а следовательно, и наименьшее значение суммы $a+b$, достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Поскольку по условию задачи $x$ — положительное число, все слагаемые в представленных функциях также положительны, и к ним можно применить данное неравенство.

а) $y = x + \frac{1}{x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $x$ и $\frac{1}{x}$:

$y = x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{1} = 2$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$x = \frac{1}{x} \implies x^2 = 1$

Так как $x > 0$, то $x=1$.

Ответ: $x=1$.

б) $y = 9x + \frac{1}{x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $9x$ и $\frac{1}{x}$:

$y = 9x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{9x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$9x = \frac{1}{x} \implies 9x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{9}$

Так как $x > 0$, то $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x=\frac{1}{3}$.

в) $y = x + \frac{1}{4x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $x$ и $\frac{1}{4x}$:

$y = x + \frac{1}{4x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{4x}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 1$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$x = \frac{1}{4x} \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$

Так как $x > 0$, то $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

г) $y = 4x + \frac{1}{25x}$

Применим неравенство Коши к слагаемым $4x$ и $\frac{1}{25x}$:

$y = 4x + \frac{1}{25x} \ge 2\sqrt{4x \cdot \frac{1}{25x}} = 2\sqrt{\frac{4}{25}} = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых:

$4x = \frac{1}{25x} \implies 100x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{100}$

Так как $x > 0$, то $x = \frac{1}{10}$.

Ответ: $x=\frac{1}{10}$.