Номер 1092, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1092. Решите неравенство, считая, что $a$ — данное число:

а) $ax > 0;$

б) $ax > 1;$

в) $ax + 1 > 3;$

г) $ax - 8 < 11;$

д) $ax > x;$

е) $ax + 1 > x.$

а) $ax > 0$
Решение этого линейного неравенства относительно $x$ зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая:
1. Если $a > 0$, то при делении обеих частей неравенства на положительное число $a$ знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{0}{a}$
$x > 0$
2. Если $a < 0$, то при делении обеих частей на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{0}{a}$
$x < 0$
3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, то есть $0 > 0$. Это утверждение ложно, следовательно, при $a=0$ неравенство не имеет решений.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 0$, то решений нет.

б) $ax > 1$
Как и в предыдущем случае, решение зависит от знака $a$:
1. Если $a > 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{1}{a}$
2. Если $a < 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{1}{a}$
3. Если $a = 0$, получаем неравенство $0 \cdot x > 1$, или $0 > 1$. Это ложное утверждение, поэтому решений нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x > \frac{1}{a}$; если $a < 0$, то $x < \frac{1}{a}$; если $a = 0$, то решений нет.

в) $ax + 1 > 3$
Сначала преобразуем неравенство, перенеся 1 в правую часть:
$ax > 3 - 1$
$ax > 2$
Теперь решение зависит от знака $a$:
1. Если $a > 0$, делим на $a$ без изменения знака неравенства:
$x > \frac{2}{a}$
2. Если $a < 0$, делим на $a$ и меняем знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{2}{a}$
3. Если $a = 0$, получаем $0 \cdot x > 2$, или $0 > 2$. Это ложно, решений нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x > \frac{2}{a}$; если $a < 0$, то $x < \frac{2}{a}$; если $a = 0$, то решений нет.

г) $ax - 8 < 11$
Перенесем -8 в правую часть неравенства:
$ax < 11 + 8$
$ax < 19$
Рассмотрим случаи для $a$:
1. Если $a > 0$, то, разделив на $a$, получаем:
$x < \frac{19}{a}$
2. Если $a < 0$, то, разделив на $a$ и изменив знак неравенства, получаем:
$x > \frac{19}{a}$
3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x < 19$, или $0 < 19$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: если $a > 0$, то $x < \frac{19}{a}$; если $a < 0$, то $x > \frac{19}{a}$; если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

д) $ax > x$
Перенесём все члены, содержащие $x$, в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$ax - x > 0$
$x(a - 1) > 0$
Решение зависит от знака выражения $(a - 1)$:
1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, делим обе части на положительное число $(a-1)$, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{0}{a-1}$
$x > 0$
2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, делим обе части на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{0}{a-1}$
$x < 0$
3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, неравенство принимает вид $x \cdot 0 > 0$, или $0 > 0$. Это ложно, решений нет.
Ответ: если $a > 1$, то $x > 0$; если $a < 1$, то $x < 0$; если $a = 1$, то решений нет.

е) $ax + 1 > x$
Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:
$ax - x > -1$
$x(a - 1) > -1$
Рассмотрим случаи для выражения $(a - 1)$:
1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, делим на положительное число $(a-1)$, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{-1}{a-1}$
2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, делим на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-1}{a-1}$
3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, неравенство принимает вид $x \cdot 0 > -1$, или $0 > -1$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: если $a > 1$, то $x > \frac{-1}{a-1}$; если $a < 1$, то $x < \frac{-1}{a-1}$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).