Номер 1101, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1101. a) $(1+x)^2 < |1-x^2|;$

б) $|1-x^2| < (1-x)^2.$

а) $(1+x)^2 < |1-x^2|$

Запишем исходное неравенство. Левая часть $(1+x)^2$ всегда неотрицательна. Правую часть можно представить с использованием свойства модуля произведения: $|1-x^2| = |(1-x)(1+x)| = |1-x||1+x|$. Также заметим, что для любого действительного числа $a$, $a^2 = |a|^2$. Поэтому $(1+x)^2 = |1+x|^2$.
Неравенство принимает вид:
$|1+x|^2 < |1-x||1+x|$
Перенесем все члены в левую часть:
$|1+x|^2 - |1-x||1+x| < 0$
Вынесем общий множитель $|1+x|$ за скобки:
$|1+x|(|1+x| - |1-x|) < 0$

Рассмотрим два случая.
1. Если $1+x = 0$, то есть $x = -1$. Подставив в исходное неравенство, получаем $(1-1)^2 < |1-(-1)^2|$, что равно $0 < |1-1|$ или $0 < 0$. Это неверно, следовательно, $x = -1$ не является решением.
2. Если $x \neq -1$, то $|1+x| > 0$. Чтобы произведение $|1+x|(|1+x| - |1-x|)$ было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:
$|1+x| - |1-x| < 0$
$|1+x| < |1-x|$

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(1+x)^2 < (1-x)^2$
$1 + 2x + x^2 < 1 - 2x + x^2$
$2x < -2x$
$4x < 0$
$x < 0$

Объединяя полученное решение $x < 0$ с условием $x \neq -1$, мы получаем окончательное множество решений.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$

б) $|1-x^2| < (1-x)^2$

Используем те же преобразования, что и в пункте а): $|1-x^2| = |1-x||1+x|$ и $(1-x)^2 = |1-x|^2$.
Неравенство принимает вид:
$|1-x||1+x| < |1-x|^2$

Рассмотрим два случая.
1. Если $1-x = 0$, то есть $x = 1$. Подставив в исходное неравенство, получаем $|1-1^2| < (1-1)^2$, что равно $0 < 0$. Это неверно, следовательно, $x = 1$ не является решением.
2. Если $x \neq 1$, то $|1-x| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|1-x|$:
$|1+x| < |1-x|$

Это неравенство было решено в пункте а). Его решение: $x < 0$.
Полученное множество решений $x < 0$ не содержит точку $x=1$, поэтому условие $x \neq 1$ выполняется автоматически.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$