Номер 1208, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1208. Под посев пшеницы отведено 3 участка пашни, общая площадь которых в 3 раза больше площади второго участка. За день были засеяны половина первого, $\frac{2}{3}$ второго и весь третий участок. Площадь, оставшаяся незасеянной, в 2 раза меньше площади третьего участка. Какую часть отведенной под посев площади составляет площадь, засеянная за день?

Для решения задачи введем обозначения:

• $S_1$ – площадь первого участка;
• $S_2$ – площадь второго участка;
• $S_3$ – площадь третьего участка.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Общая площадь трех участков в 3 раза больше площади второго участка:

$S_1 + S_2 + S_3 = 3S_2$

Упростим это выражение:

$S_1 + S_3 = 3S_2 - S_2$

$S_1 + S_3 = 2S_2$ (Уравнение 1)

2. За день были засеяны половина первого ($\frac{1}{2}S_1$), $\frac{2}{3}$ второго ($\frac{2}{3}S_2$) и весь третий ($S_3$) участок. Найдем площадь, оставшуюся незасеянной:

На первом участке осталось: $S_1 - \frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{2}S_1$

На втором участке осталось: $S_2 - \frac{2}{3}S_2 = \frac{1}{3}S_2$

На третьем участке осталось: $S_3 - S_3 = 0$

Общая незасеянная площадь: $S_{незасеянная} = \frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2$

3. Площадь, оставшаяся незасеянной, в 2 раза меньше площади третьего участка. Это означает, что она равна половине площади третьего участка:

$S_{незасеянная} = \frac{1}{2}S_3$

Следовательно:

$\frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2 = \frac{1}{2}S_3$ (Уравнение 2)

Теперь решим систему из двух уравнений, чтобы выразить площади всех участков через одну переменную, например, через $S_2$. Умножим Уравнение 2 на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{3}S_2) = 6 \cdot \frac{1}{2}S_3$

$3S_1 + 2S_2 = 3S_3$ (Уравнение 3)

Из Уравнения 1 выразим $S_1$: $S_1 = 2S_2 - S_3$

Подставим это выражение для $S_1$ в Уравнение 3:

$3(2S_2 - S_3) + 2S_2 = 3S_3$

$6S_2 - 3S_3 + 2S_2 = 3S_3$

$8S_2 = 6S_3$

Отсюда выразим $S_3$ через $S_2$:

$S_3 = \frac{8}{6}S_2 = \frac{4}{3}S_2$

Теперь найдем $S_1$, подставив выражение для $S_3$ в $S_1 = 2S_2 - S_3$:

$S_1 = 2S_2 - \frac{4}{3}S_2 = \frac{6S_2 - 4S_2}{3} = \frac{2}{3}S_2$

Итак, мы выразили площади всех участков через $S_2$:

• $S_1 = \frac{2}{3}S_2$
• $S_2 = S_2$
• $S_3 = \frac{4}{3}S_2$

Теперь найдем общую площадь всех участков ($S_{общая}$) и площадь, засеянную за день ($S_{засеянная}$).

Общая площадь: $S_{общая} = S_1 + S_2 + S_3 = 3S_2$ (из первого условия).

Площадь, засеянная за день:

$S_{засеянная} = \frac{1}{2}S_1 + \frac{2}{3}S_2 + S_3$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_3$:

$S_{засеянная} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}S_2) + \frac{2}{3}S_2 + \frac{4}{3}S_2 = \frac{1}{3}S_2 + \frac{2}{3}S_2 + \frac{4}{3}S_2 = \frac{1+2+4}{3}S_2 = \frac{7}{3}S_2$

Вопрос задачи: какую часть отведённой под посев площади составляет площадь, засеянная за день? Нам нужно найти отношение $\frac{S_{засеянная}}{S_{общая}}$.

$\frac{S_{засеянная}}{S_{общая}} = \frac{\frac{7}{3}S_2}{3S_2} = \frac{7/3}{3} = \frac{7}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9}$

Ответ: Площадь, засеянная за день, составляет $\frac{7}{9}$ от всей отведенной под посев площади.