Номер 1205, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1205. На термометре Цельсия температуры таяния льда и кипения воды обозначаются соответственно $0^\circ$ и $100^\circ$. На термометре Фаренгейта эти температуры обозначены соответственно $-32^\circ$ и $212^\circ$. При какой температуре оба термометра будут показывать одинаковое число градусов?

Для решения этой задачи необходимо найти формулу, связывающую температуру по шкале Цельсия ($C$) и температуру по шкале Фаренгейта ($F$). Поскольку обе шкалы линейны, зависимость между ними также будет линейной и может быть выражена уравнением вида $F = kC + b$, где $k$ и $b$ — некоторые постоянные коэффициенты.

Чтобы найти эти коэффициенты, мы используем две реперные точки, указанные в условии:

1. Температура таяния льда: $0^\circ\text{C}$ соответствует $32^\circ\text{F}$.

2. Температура кипения воды: $100^\circ\text{C}$ соответствует $212^\circ\text{F}$.

Подставим значения первой точки ($C=0, F=32$) в наше линейное уравнение:

$32 = k \cdot 0 + b$

Из этого уравнения мы сразу находим значение коэффициента $b$:

$b = 32$

Теперь наше уравнение приобретает вид: $F = kC + 32$.

Далее, подставим в это уравнение значения второй точки ($C=100, F=212$):

$212 = k \cdot 100 + 32$

Теперь решим это уравнение относительно коэффициента $k$:

$100k = 212 - 32$

$100k = 180$

$k = \frac{180}{100} = \frac{9}{5}$

Таким образом, мы получили точную формулу для перевода температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:

$F = \frac{9}{5}C + 32$

Теперь нам нужно найти температуру, при которой показания обоих термометров будут одинаковы. Обозначим это искомое значение температуры как $x$. Это означает, что в искомой точке $C = x$ и $F = x$.

Подставим $x$ в нашу формулу вместо $C$ и $F$:

$x = \frac{9}{5}x + 32$

Осталось решить это линейное уравнение относительно $x$:

$x - \frac{9}{5}x = 32$

Чтобы вычесть дроби, приведем $x$ к знаменателю 5:

$\frac{5}{5}x - \frac{9}{5}x = 32$

$-\frac{4}{5}x = 32$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-\frac{5}{4}$:

$x = 32 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right)$

$x = - \frac{32 \cdot 5}{4} = -8 \cdot 5 = -40$

Таким образом, при температуре $-40$ градусов показания на шкалах Цельсия и Фаренгейта совпадают.

Ответ: $-40^\circ$.