Номер 1209, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1209. Велосипедист проехал расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ и обратно с постоянной скоростью. Мотоциклист проехал расстояние $AB$ со скоростью в $n$ раз большей, чем скорость велосипедиста. Он оставил мотоцикл в пункте $B$ и вернулся в пункт $A$ пешком со скоростью в $n$ раз меньшей, чем скорость велосипедиста. Кто из них был дольше в пути и во сколько раз, если:

a) $n=2$;

б) $n=5$?

Для решения задачи введем переменные. Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно $S$, а постоянная скорость велосипедиста равна $v$.

Велосипедист проехал путь туда и обратно, то есть общее расстояние $2S$. Время, которое он затратил, составляет:
$t_{велосипедист} = \frac{2S}{v}$

Теперь рассчитаем время в пути для мотоциклиста. Его путешествие состоит из двух частей.
1. Путь из А в В на мотоцикле. Расстояние равно $S$. Скорость в $n$ раз больше скорости велосипедиста, то есть $v_{мото} = n \cdot v$. Время на этом отрезке:
$t_1 = \frac{S}{v_{мото}} = \frac{S}{n \cdot v}$
2. Путь из В в А пешком. Расстояние равно $S$. Скорость в $n$ раз меньше скорости велосипедиста, то есть $v_{пешком} = \frac{v}{n}$. Время на этом отрезке:
$t_2 = \frac{S}{v_{пешком}} = \frac{S}{v/n} = \frac{nS}{v}$

Общее время мотоциклиста в пути — это сумма времен $t_1$ и $t_2$:
$t_{мотоциклист} = t_1 + t_2 = \frac{S}{nv} + \frac{nS}{v} = \frac{S + n^2S}{nv} = \frac{S(1 + n^2)}{nv} = \frac{S}{v} \cdot \frac{n^2 + 1}{n}$

Чтобы сравнить, кто был в пути дольше и во сколько раз, найдем отношение времени мотоциклиста ко времени велосипедиста:
$\frac{t_{мотоциклист}}{t_{велосипедист}} = \frac{\frac{S}{v} \cdot \frac{n^2 + 1}{n}}{\frac{2S}{v}} = \frac{S \cdot (n^2 + 1) \cdot v}{v \cdot n \cdot 2S} = \frac{n^2 + 1}{2n}$

Теперь, используя эту общую формулу, мы можем найти ответ для каждого конкретного случая.

а)

При $n=2$ подставляем это значение в нашу формулу отношения времен:
$\frac{t_{мотоциклист}}{t_{велосипедист}} = \frac{2^2 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = 1,25$
Поскольку отношение больше единицы, мотоциклист был в пути дольше.
Ответ: Мотоциклист был в пути дольше в 1,25 раза.

б)

При $n=5$ подставляем это значение в формулу:
$\frac{t_{мотоциклист}}{t_{велосипедист}} = \frac{5^2 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{25 + 1}{10} = \frac{26}{10} = 2,6$
Поскольку отношение больше единицы, мотоциклист был в пути дольше.
Ответ: Мотоциклист был в пути дольше в 2,6 раза.