Номер 1237, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1237. Моторная лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами на реке туда и обратно, не останавливаясь, за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Определите скорость течения реки.

Пусть $v_т$ — искомая скорость течения реки в км/ч.

Собственная скорость моторной лодки $v_л = 20$ км/ч. Расстояние между пунктами $S = 60$ км.

Скорость лодки при движении по течению реки составляет $v_{по} = v_л + v_т = (20 + v_т)$ км/ч.
Скорость лодки при движении против течения реки составляет $v_{против} = v_л - v_т = (20 - v_т)$ км/ч.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, равно $t_1 = \frac{S}{v_{по}} = \frac{60}{20 + v_т}$ ч.
Время, которое лодка затратила на путь против течения, равно $t_2 = \frac{S}{v_{против}} = \frac{60}{20 - v_т}$ ч.

Общее время в пути составляет 6 ч 15 мин. Переведем это время в часы для удобства вычислений:$t_{общ} = 6 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 6 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 6 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{24}{4} + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$ ч.

Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_1 + t_2 = t_{общ}$.Составим и решим уравнение:

$\frac{60}{20 + v_т} + \frac{60}{20 - v_т} = \frac{25}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{60(20 - v_т) + 60(20 + v_т)}{(20 + v_т)(20 - v_т)} = \frac{25}{4}$

Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:

$\frac{1200 - 60v_т + 1200 + 60v_т}{20^2 - v_т^2} = \frac{25}{4}$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{2400}{400 - v_т^2} = \frac{25}{4}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$25 \cdot (400 - v_т^2) = 2400 \cdot 4$

$10000 - 25v_т^2 = 9600$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $v_т$:

$25v_т^2 = 10000 - 9600$

$25v_т^2 = 400$

$v_т^2 = \frac{400}{25}$

$v_т^2 = 16$

Отсюда $v_т = \sqrt{16} = 4$ или $v_т = -4$.

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, мы выбираем положительное значение $v_т = 4$. Это значение также удовлетворяет условию, что скорость течения должна быть меньше собственной скорости лодки ($4 < 20$), иначе лодка не смогла бы двигаться против течения.

Таким образом, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.