Номер 1239, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1239. Сопротивление цепи двух параллельно соединённых проводников равно 15 Ом. Первый проводник имеет сопротивление на 16 Ом больше, чем второй. Определите сопротивление каждого проводника.

Обозначим сопротивление первого проводника как $R_1$, а второго — как $R_2$.

Согласно условию задачи, сопротивление первого проводника на 16 Ом больше, чем второго. Это можно записать в виде уравнения:
$R_1 = R_2 + 16$

Общее сопротивление $R_{общ}$ двух параллельно соединённых проводников определяется по формуле:
$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
которую можно представить в виде:
$R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Из условия известно, что общее сопротивление цепи равно 15 Ом, то есть $R_{общ} = 15$ Ом. Подставим известные значения в формулу:
$15 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
1) $R_1 = R_2 + 16$
2) $15 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим выражение для $R_1$ из первого уравнения во второе:
$15 = \frac{(R_2 + 16) \cdot R_2}{(R_2 + 16) + R_2}$
Упростим выражение:
$15 = \frac{R_2^2 + 16R_2}{2R_2 + 16}$

Решим это уравнение относительно $R_2$. Умножим обе части на знаменатель $(2R_2 + 16)$:
$15 \cdot (2R_2 + 16) = R_2^2 + 16R_2$
$30R_2 + 240 = R_2^2 + 16R_2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$R_2^2 + 16R_2 - 30R_2 - 240 = 0$
$R_2^2 - 14R_2 - 240 = 0$

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем возможные значения для $R_2$ по формуле корней квадратного уравнения:
$R_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 34}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$R_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 34}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку сопротивление не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, сопротивление второго проводника равно:
$R_2 = 24$ Ом.

Теперь найдем сопротивление первого проводника, используя соотношение $R_1 = R_2 + 16$:
$R_1 = 24 + 16 = 40$ Ом.

Ответ: сопротивление первого проводника равно 40 Ом, сопротивление второго проводника равно 24 Ом.