Номер 1248, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1248. С поверхности земли вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью $v_0$ (м/с). Через сколько секунд камень упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решите задачу, если:

а) $v_0 = 15$ м/с;

б) $v_0 = 25$ м/с.

Для решения задачи о движении камня, брошенного вертикально вверх, воспользуемся законами равноускоренного движения. Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, на камень действует только сила тяжести. Это означает, что он движется с постоянным ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз.

Выберем систему координат, в которой ось $Y$ направлена вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) совпадает с поверхностью земли. В этой системе координат начальная скорость $v_0$ положительна, а ускорение $a$ равно $-g$.

Высота камня $y$ в любой момент времени $t$ определяется уравнением движения: $y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как камень брошен с поверхности земли, его начальная координата $y_0 = 0$. Подставив известные величины ($y_0=0$ и $a=-g$), получаем уравнение для высоты: $y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Камень упадет на землю в тот момент времени $t > 0$, когда его высота $y(t)$ снова станет равна нулю. Приравняем уравнение высоты к нулю, чтобы найти это время: $v_0 t - \frac{gt^2}{2} = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Для его решения вынесем $t$ за скобки: $t \left( v_0 - \frac{gt}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два решения: 1. $t_1 = 0$. Это соответствует начальному моменту времени, когда камень находится на земле перед броском. 2. $v_0 - \frac{gt}{2} = 0$. Это уравнение дает нам время, в которое камень вернется на землю.

Найдем полное время полета $t$ из второго решения: $v_0 = \frac{gt}{2}$ $t = \frac{2v_0}{g}$

В расчетах будем использовать стандартное приближенное значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

а) Решим задачу для $v_0 = 15$ м/с.

Подставим значение начальной скорости в выведенную формулу для времени полета: $t = \frac{2 \cdot 15 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{30}{10} \text{ с} = 3 \text{ с}$

Ответ: 3 с.

б) Решим задачу для $v_0 = 25$ м/с.

Аналогично подставим это значение начальной скорости в формулу: $t = \frac{2 \cdot 25 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{50}{10} \text{ с} = 5 \text{ с}$

Ответ: 5 с.