Номер 1254, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1254. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 48 км. Отчалив от пристани $A$ в 9 ч утра, теплоход поплыл по течению реки до пристани $B$. Простояв у пристани $B$ один час, теплоход отправился в обратный рейс и прибыл к пристани $A$ в 17 ч того же дня. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что на пути от пристани $A$ до пристани $B$ и от пристани $B$ до пристани $A$ она была одна и та же.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость течения реки составляет 2 км/ч, а расстояние между пристанями А и В равно 48 км.
Таким образом, скорость теплохода по течению (от А до В) будет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения (от В до А) — $(x - 2)$ км/ч.

Теплоход отправился в 9:00 и вернулся в 17:00, значит, общее время путешествия составило:
$17 - 9 = 8$ часов.
Из этого времени 1 час был потрачен на стоянку у пристани В. Следовательно, время, которое теплоход находился в движении, равно:
$8 - 1 = 7$ часов.

Время, затраченное на путь от А до В (по течению), вычисляется как $t_1 = \frac{48}{x + 2}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь от В до А (против течения), вычисляется как $t_2 = \frac{48}{x - 2}$ ч.
Суммарное время движения равно 7 часам, что позволяет составить уравнение:
$\frac{48}{x + 2} + \frac{48}{x - 2} = 7$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$. Важно отметить, что собственная скорость теплохода $x$ должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.
$\frac{48(x - 2) + 48(x + 2)}{x^2 - 4} = 7$
$\frac{48x - 96 + 48x + 96}{x^2 - 4} = 7$
$\frac{96x}{x^2 - 4} = 7$
Умножим обе части на $(x^2 - 4)$:
$96x = 7(x^2 - 4)$
$96x = 7x^2 - 28$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$7x^2 - 96x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-96)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 9216 + 784 = 10000$
$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 + 100}{2 \cdot 7} = \frac{196}{14} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 - 100}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

Корень $x_2 = -2/7$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 14$ является искомым значением, так как он удовлетворяет условию $x > 2$.
Ответ: собственная скорость теплохода 14 км/ч.