Номер 1260, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1260. Путь из села в город идёт сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно — 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Обозначим скорость велосипедиста в гору как $v_1$ км/ч, а скорость с горы — как $v_2$ км/ч.

Путь из села в город состоит из двух участков: 15 км в гору и 6 км с горы. Общее время в пути составило 3,1 часа. Используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, можем составить первое уравнение:

$\frac{15}{v_1} + \frac{6}{v_2} = 3,1$

На обратном пути из города в село участки меняются ролями: 6 км пути становятся подъемом (в гору), а 15 км — спуском (с горы). Общее время на обратный путь составляет 2,5 часа. Составим второе уравнение:

$\frac{6}{v_1} + \frac{15}{v_2} = 2,5$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{15}{v_1} + \frac{6}{v_2} = 3,1 \\ \frac{6}{v_1} + \frac{15}{v_2} = 2,5 \end{cases}$

Для удобства решения введем замену переменных: пусть $x = \frac{1}{v_1}$ и $y = \frac{1}{v_2}$. Тогда система уравнений примет вид:

$\begin{cases} 15x + 6y = 3,1 \\ 6x + 15y = 2,5 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 5 \cdot (15x + 6y) = 3,1 \cdot 5 \\ -2 \cdot (6x + 15y) = 2,5 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 75x + 30y = 15,5 \\ -12x - 30y = -5 \end{cases}$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(75x - 12x) + (30y - 30y) = 15,5 - 5$

$63x = 10,5$

$x = \frac{10,5}{63} = \frac{105}{630} = \frac{1}{6}$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе ($6x + 15y = 2,5$):

$6 \cdot (\frac{1}{6}) + 15y = 2,5$

$1 + 15y = 2,5$

$15y = 2,5 - 1$

$15y = 1,5$

$y = \frac{1,5}{15} = \frac{1}{10}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти искомые скорости:

Скорость в гору: $v_1 = \frac{1}{x} = \frac{1}{1/6} = 6$ км/ч.

Скорость с горы: $v_2 = \frac{1}{y} = \frac{1}{1/10} = 10$ км/ч.

Проверим полученные значения. Время из села в город: $\frac{15}{6} + \frac{6}{10} = 2,5 + 0,6 = 3,1$ часа. Время из города в село: $\frac{6}{6} + \frac{15}{10} = 1 + 1,5 = 2,5$ часа. Решение верное.

Ответ: скорость велосипедиста в гору — 6 км/ч, скорость с горы — 10 км/ч.