Номер 1262, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1262. Бригада лесорубов должна была в несколько дней по плану заготовить $216\text{ м}^3$ дров. Первые 3 дня бригада работала по плану, а затем каждый день заготовляла на $8\text{ м}^3$ дров больше плана. В результате уже за день до срока было заготовлено $232\text{ м}^3$ дров. Сколько кубометров должна была заготовлять бригада в день по плану?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ м³ — это количество дров, которое бригада должна была заготовлять в день по плану, а $n$ — количество дней, которое было отведено на выполнение всего плана.

По условию, общий плановый объем заготовки составляет 216 м³. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, связывающее плановую дневную норму и плановое количество дней:

$x \cdot n = 216$

Из этого уравнения выразим плановое количество дней $n$ через $x$:

$n = \frac{216}{x}$

Далее проанализируем фактический ход работы. Первые 3 дня бригада работала в соответствии с планом, заготовив за это время объем дров, равный $3 \cdot x$ м³.

После этого производительность бригады возросла. Каждый последующий день они заготовляли на 8 м³ дров больше плана, то есть их дневная норма стала $(x + 8)$ м³/день.

Вся работа была завершена на 1 день раньше установленного срока, значит, общее время работы составило $(n - 1)$ дней. Поскольку первые 3 дня работа велась по старому плану, количество дней работы с повышенной производительностью составляет $(n - 1) - 3 = (n - 4)$ дня.

За эти $(n - 4)$ дня бригада заготовила объем дров, равный $(n - 4) \cdot (x + 8)$ м³.

Суммарный объем заготовленных дров за все время работы составил 232 м³. Это позволяет нам составить второе уравнение, сложив объемы, заготовленные в разные периоды:

$3x + (n - 4)(x + 8) = 232$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение для $n$ из первого уравнения ($n = \frac{216}{x}$) во второе:

$3x + (\frac{216}{x} - 4)(x + 8) = 232$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Для начала раскроем скобки:

$3x + \frac{216}{x} \cdot x + \frac{216}{x} \cdot 8 - 4 \cdot x - 4 \cdot 8 = 232$

Упростим выражение:

$3x + 216 + \frac{1728}{x} - 4x - 32 = 232$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 184 + \frac{1728}{x} = 232$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что является верным, так как $x$ — это дневная норма выработки):

$-x^2 + 184x + 1728 = 232x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 232x - 184x - 1728 = 0$

$x^2 + 48x - 1728 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 2304 + 6912 = 9216$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$.

Теперь найдем два возможных корня уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 + 96}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 - 96}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$

Поскольку $x$ представляет собой плановый дневной объем заготовки дров, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -72$ не соответствует условию задачи. Единственным решением является $x = 24$.

Ответ: бригада должна была заготовлять 24 м³ дров в день по плану.