Страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1) Вычислите $ (5,25 - 4\frac{21}{40}) : 1,45 - (7\frac{1}{3} - 6,875) : 0,75. $

2) Упростите выражение $ \left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4} + \frac{x - 2}{2 - x}\right) : \frac{4}{x^2 - 4}. $

3) Постройте график функции $ y = x - 1 $. Определите интервал, на котором функция принимает положительные значения.

4) Сумма двух чисел равна 2, а их произведение равно -35. Найдите эти числа.

1)

Решим выражение по действиям. Для удобства вычислений переведем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.

1. Вычислим разность в первых скобках: $5,25 - 4\frac{21}{40} = 5\frac{1}{4} - 4\frac{21}{40} = \frac{21}{4} - \frac{181}{40} = \frac{21 \cdot 10}{40} - \frac{181}{40} = \frac{210 - 181}{40} = \frac{29}{40}$.

2. Выполним первое деление: $\frac{29}{40} : 1,45 = \frac{29}{40} : \frac{145}{100} = \frac{29}{40} : \frac{29}{20} = \frac{29}{40} \cdot \frac{20}{29} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.

3. Вычислим разность во вторых скобках: $7\frac{1}{3} - 6,875 = \frac{22}{3} - 6\frac{875}{1000} = \frac{22}{3} - 6\frac{7}{8} = \frac{22}{3} - \frac{55}{8} = \frac{22 \cdot 8 - 55 \cdot 3}{24} = \frac{176 - 165}{24} = \frac{11}{24}$.

4. Выполним второе деление: $\frac{11}{24} : 0,75 = \frac{11}{24} : \frac{3}{4} = \frac{11}{24} \cdot \frac{4}{3} = \frac{11 \cdot 4}{24 \cdot 3} = \frac{11}{6 \cdot 3} = \frac{11}{18}$.

5. Найдем конечный результат: $\frac{1}{2} - \frac{11}{18} = \frac{9}{18} - \frac{11}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$.

2)

Упростим данное выражение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x^2 - 4x + 4 \neq 0$, $2-x \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$, что в совокупности дает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

1. Преобразуем выражение в скобках. Знаменатель первой дроби $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$. Вторую дробь можно упростить: $\frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$. Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{x^2+4}{(x-2)^2} + (-1) = \frac{x^2+4}{(x-2)^2} - \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2+4 - (x^2-4x+4)}{(x-2)^2} = \frac{x^2+4-x^2+4x-4}{(x-2)^2} = \frac{4x}{(x-2)^2}$.

2. Выполним деление. Знаменатель делителя $x^2-4$ разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)$. $\frac{4x}{(x-2)^2} : \frac{4}{x^2-4} = \frac{4x}{(x-2)^2} \cdot \frac{x^2-4}{4} = \frac{4x}{(x-2)^2} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{4}$.

3. Сократим общие множители $4$ и $(x-2)$: $\frac{x \cdot (x+2)}{x-2} = \frac{x^2+2x}{x-2}$.

Ответ: $\frac{x^2+2x}{x-2}$.

3)

Функция $y = x - 1$ — это линейная функция, её график представляет собой прямую линию. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

Найдем две точки:

1. При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Координаты точки $(0; -1)$.

2. При $y = 0$, $0 = x - 1$, откуда $x = 1$. Координаты точки $(1; 0)$.

Построив прямую, проходящую через эти две точки, мы получим график функции $y = x - 1$.

Теперь определим интервал, на котором функция принимает положительные значения. Для этого решим неравенство $y > 0$:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Функция принимает положительные значения, когда $x$ строго больше 1.

Ответ: График функции $y=x-1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(1; 0)$. Функция принимает положительные значения на интервале $(1; +\infty)$.

4)

Пусть искомые числа равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 2 \\ a \cdot b = -35 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$. Подставим в это уравнение известные нам значения суммы и произведения:

$z^2 - 2z - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Следовательно, искомые числа — это 7 и -5.

Проверим: сумма $7 + (-5) = 2$, произведение $7 \cdot (-5) = -35$. Условия выполнены.

Ответ: 7 и -5.

2. 1) Вычислите $5\frac{1}{6} + \left(3,25 + 2\frac{1}{6}\right) : 2,6 - \frac{2}{3} \cdot 2,25$.

2) Упростите выражение $\left(\frac{x^2 + 9}{x^2 - 6x + 9} + \frac{x - 3}{3 - x}\right) : \frac{9}{x^2 - 9}$.

3) Постройте график функции $y = -2x - 2$. Определите интервал, на котором функция принимает отрицательные значения.

4) Произведение двух чисел равно 20, а их разность равна 1. Найдите эти числа.

1) Выполним вычисления по действиям. Для удобства преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные.

$3,25 = 3\frac{25}{100} = 3\frac{1}{4}$

$2,6 = 2\frac{6}{10} = 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$

$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Исходное выражение примет вид: $5\frac{1}{6} + \left(3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}\right) : \frac{13}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$

1. Вычислим сумму в скобках:

$3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6} = \frac{13}{4} + \frac{13}{6} = \frac{13 \cdot 3}{12} + \frac{13 \cdot 2}{12} = \frac{39+26}{12} = \frac{65}{12}$

2. Выполним деление:

$\frac{65}{12} : \frac{13}{5} = \frac{65}{12} \cdot \frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 13 \cdot 5}{12 \cdot 13} = \frac{25}{12}$

3. Выполним умножение:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

4. Подставим результаты в выражение и выполним оставшиеся действия:

$5\frac{1}{6} + \frac{25}{12} - \frac{3}{2} = \frac{31}{6} + \frac{25}{12} - \frac{3 \cdot 6}{12} = \frac{31 \cdot 2}{12} + \frac{25}{12} - \frac{18}{12} = \frac{62+25-18}{12} = \frac{69}{12}$

5. Сократим и преобразуем полученную дробь:

$\frac{69}{12} = \frac{23 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{23}{4} = 5,75$

Ответ: $5,75$.

2) Упростим выражение $\left(\frac{x^2+9}{x^2-6x+9} + \frac{x-3}{3-x}\right) : \frac{9}{x^2-9}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей:

$x^2-6x+9 \neq 0 \implies (x-3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$.

$3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.

$x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Итого ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

1. Упростим выражение в скобках. Заметим, что $x^2-6x+9 = (x-3)^2$ и $\frac{x-3}{3-x} = \frac{x-3}{-(x-3)} = -1$.

$\frac{x^2+9}{(x-3)^2} + \frac{x-3}{3-x} = \frac{x^2+9}{(x-3)^2} - 1 = \frac{x^2+9 - (x-3)^2}{(x-3)^2}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $x^2+9 - (x^2-6x+9) = x^2+9-x^2+6x-9 = 6x$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{6x}{(x-3)^2}$.

2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. Разложим $x^2-9$ на множители.

$\frac{6x}{(x-3)^2} : \frac{9}{x^2-9} = \frac{6x}{(x-3)^2} \cdot \frac{x^2-9}{9} = \frac{6x}{(x-3)^2} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{9}$

3. Сократим общие множители $3$ и $(x-3)$:

$\frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot (x-3)(x+3)}{3 \cdot 3 \cdot (x-3)^2} = \frac{2x(x+3)}{3(x-3)}$

Ответ: $\frac{2x(x+3)}{3(x-3)}$.

3) Требуется построить график функции $y = -2x - 2$ и определить интервал, на котором её значения отрицательны.

Функция $y = -2x - 2$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$):

$y = -2(0) - 2 = -2$. Координаты точки: $(0, -2)$.

2. Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$):

$0 = -2x - 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1$. Координаты точки: $(-1, 0)$.

График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, -2)$ и $(-1, 0)$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения, то есть $y < 0$. Решим неравенство:

$-2x - 2 < 0$

$-2x < 2$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -1$

Ответ: Функция принимает отрицательные значения на интервале $(-1; +\infty)$.

4) Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Согласно условию, их произведение равно 20, а разность равна 1. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a \cdot b = 20 \\ a - b = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = b + 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(b+1)b = 20$

$b^2 + b - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$, используя формулу корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$b_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2}$

Получаем два возможных значения для $b$:

$b_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

$b_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого $b$:

1. Если $b_1 = 4$, то $a_1 = 4 + 1 = 5$. Первая пара чисел: 5 и 4.

2. Если $b_2 = -5$, то $a_2 = -5 + 1 = -4$. Вторая пара чисел: -4 и -5.

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 5 и 4, или -4 и -5.

1) Вычислите $2 : 2.25 \cdot \frac{9}{32} - \frac{30}{103} \cdot \left( \frac{2}{15} + 1\frac{7}{12} \right)$.

2) Упростите выражение $\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x - 2}{1 - x} - \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.

3) Постройте график функции $y = \frac{1}{3}x + 1$. Определите, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения.

4) Площадь прямоугольника равна 4 дм$^2$, а периметр равен 17 дм. Определите стороны прямоугольника.

1) Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2}{15} + 1\frac{7}{12} = \frac{2}{15} + \frac{19}{12} = \frac{2 \cdot 4}{60} + \frac{19 \cdot 5}{60} = \frac{8}{60} + \frac{95}{60} = \frac{103}{60}$.

2. Теперь выполним умножение с результатом из первого действия:
$\frac{30}{103} \cdot \frac{103}{60} = \frac{30 \cdot 103}{103 \cdot 60} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним действия в первой части выражения. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
$2 : 2,25 \cdot \frac{9}{32} = 2 : \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{32} = (2 \cdot \frac{4}{9}) \cdot \frac{9}{32} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

4. Выполним вычитание:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-x = -(x-1)$ и $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{x+2}{x+1} + \frac{x-2}{1-x} - \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{x+2}{x+1} - \frac{x-2}{x-1} - \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}$.
Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$.
$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+2)(x-1) - (x-2)(x+1) - (x^2+1)}{(x-1)(x+1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(x^2 - x + 2x - 2) - (x^2 + x - 2x - 2) - (x^2+1) = (x^2+x-2) - (x^2-x-2) - x^2 - 1 = x^2+x-2-x^2+x+2-x^2-1$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(x^2-x^2-x^2) + (x+x) + (-2+2-1) = -x^2+2x-1$.
Выражение принимает вид:
$\frac{-x^2+2x-1}{x^2-1} = \frac{-(x^2-2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$.
Сократим дробь на $(x-1)$ (при $x \neq 1$):
$\frac{-(x-1)}{x+1} = \frac{1-x}{x+1}$.

Ответ: $\frac{1-x}{x+1}$.

3) Функция $y = \frac{1}{3}x + 1$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.
Найдем координаты двух точек, принадлежащих графику:
1. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
2. Если $x=3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = 1+1=2$. Получаем точку $(3, 2)$.
Проведя прямую через точки $(0, 1)$ и $(3, 2)$, получим график данной функции.
Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:
$\frac{1}{3}x + 1 < 0$
$\frac{1}{3}x < -1$
$x < -3$.

Ответ: график функции — прямая, проходящая, например, через точки $(0, 1)$ и $(3, 2)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -3)$.

4) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ в дециметрах.
Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$. По условию $S = 4$ дм², значит, $a \cdot b = 4$.
Периметр прямоугольника $P = 2(a+b)$. По условию $P = 17$ дм, значит, $2(a+b) = 17$, или $a+b = \frac{17}{2} = 8,5$.
Получаем систему уравнений:
$a \cdot b = 4$
$a+b = 8,5$
Из второго уравнения выразим $b = 8,5 - a$ и подставим в первое:
$a(8,5 - a) = 4$
$8,5a - a^2 = 4$
$a^2 - 8,5a + 4 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим уравнение на 2:
$2a^2 - 17a + 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$a_1 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 15}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$a_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8$
Если одна сторона $a_1=0,5$ дм, то вторая сторона $b_1 = 8,5 - 0,5 = 8$ дм.
Если одна сторона $a_2=8$ дм, то вторая сторона $b_2 = 8,5 - 8 = 0,5$ дм.
В обоих случаях получаем одни и те же стороны.

Ответ: стороны прямоугольника равны 0,5 дм и 8 дм.

4. 1) Вычислите $(4\frac{2}{3} : 3,5 + 3,5 : 4\frac{2}{3}) \cdot 4,8.$

2) Упростите выражение $\frac{a^2 - a}{9 - a^2} - \frac{a - 1}{a + 3} + \frac{a - 2}{a - 3}. $

3) Постройте график функции $y = -0,5x + 2.$ Определите, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения.

4) Одна сторона прямоугольника на 3 м короче другой. Определите стороны прямоугольника, если его площадь равна $1,75$ м$^2$.

1) Вычислите $\left(4\frac{2}{3}:3,5+3,5:4\frac{2}{3}\right)\cdot 4,8$.
Для решения данного примера преобразуем все числа в обыкновенные или десятичные дроби и выполним действия по порядку. Удобнее будет работать с обыкновенными дробями.
1. Преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$
$4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$
2. Выполним действия в скобках. Сначала деление:
$4\frac{2}{3} : 3,5 = \frac{14}{3} : \frac{7}{2} = \frac{14}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}$
$3,5 : 4\frac{2}{3} = \frac{7}{2} : \frac{14}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{14} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 14} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$
3. Теперь выполним сложение в скобках:
$\frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{16+9}{12} = \frac{25}{12}$
4. Наконец, умножим результат на $4,8$:
$\frac{25}{12} \cdot \frac{24}{5} = \frac{25 \cdot 24}{12 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 2}{1} = 10$
Ответ: 10.

2) Упростите выражение $\frac{a^2-a}{9-a^2}-\frac{a-1}{a+3}+\frac{a-2}{a-3}$.
Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю.
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $9 - a^2 = (3-a)(3+a)$. Также вынесем знак минус, чтобы получить $(a-3)$: $-(a-3)(a+3)$.
Выражение примет вид:
$\frac{a(a-1)}{-(a-3)(a+3)} - \frac{a-1}{a+3} + \frac{a-2}{a-3} = -\frac{a(a-1)}{(a-3)(a+3)} - \frac{a-1}{a+3} + \frac{a-2}{a-3}$
2. Общий знаменатель для всех дробей: $(a-3)(a+3)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$-\frac{a(a-1)}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a-1)(a-3)}{(a+3)(a-3)} + \frac{(a-2)(a+3)}{(a-3)(a+3)}$
3. Запишем все под одной чертой дроби и раскроем скобки в числителе:
$\frac{-a(a-1) - (a-1)(a-3) + (a-2)(a+3)}{(a-3)(a+3)}$
$= \frac{-(a^2-a) - (a^2-3a-a+3) + (a^2+3a-2a-6)}{(a-3)(a+3)}$
$= \frac{-a^2+a - (a^2-4a+3) + (a^2+a-6)}{(a-3)(a+3)}$
$= \frac{-a^2+a - a^2+4a-3 + a^2+a-6}{(a-3)(a+3)}$
4. Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(-a^2-a^2+a^2) + (a+4a+a) + (-3-6)}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2+6a-9}{(a-3)(a+3)}$
5. Вынесем минус за скобки в числителе и свернем по формуле квадрата разности:
$\frac{-(a^2-6a+9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{-(a-3)^2}{(a-3)(a+3)}$
6. Сократим дробь на $(a-3)$, при условии, что $a \neq 3$:
$\frac{-(a-3)}{a+3} = \frac{3-a}{a+3}$
Ответ: $\frac{3-a}{a+3}$.

3) Постройте график функции $y = -0,5x + 2$. Определите, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения.
1. Функция $y = -0,5x + 2$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.
- Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого примем $x=0$:
$y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
- Найдем точку пересечения с осью OX. Для этого примем $y=0$:
$0 = -0,5x + 2$
$0,5x = 2$
$x = 4$. Получаем точку $(4; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$.
2. Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, решим неравенство $y > 0$:
$-0,5x + 2 > 0$
$-0,5x > -2$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (–0,5), знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-2}{-0,5}$
$x < 4$
Таким образом, функция принимает положительные значения при $x < 4$. Это также видно из графика: левее точки пересечения с осью OX (то есть при $x < 4$) график расположен выше этой оси.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 4)$.

4) Одна сторона прямоугольника на 3 м короче другой. Определите стороны прямоугольника, если его площадь равна 1,75 м².
1. Пусть одна (большая) сторона прямоугольника равна $x$ м. Тогда другая (меньшая) сторона равна $(x-3)$ м. По условию, $x>3$, так как длина стороны не может быть отрицательной или равной нулю.
2. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны. По условию, $S = 1,75$ м².
Составим уравнение:
$x(x-3) = 1,75$
3. Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 1,75 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 4:
$4x^2 - 12x - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 144 + 112 = 256$
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0,5$
4. Корень $x_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию, так как длина стороны не может быть отрицательной. Следовательно, большая сторона прямоугольника равна $x = 3,5$ м.
5. Найдем вторую сторону:
$x - 3 = 3,5 - 3 = 0,5$ м.
Проверка: $3,5 \cdot 0,5 = 1,75$. Верно.
Ответ: стороны прямоугольника равны 3,5 м и 0,5 м.