Страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

25. 1) Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, зная, что прогрессия возрастающая и $b_4 \cdot b_5 = 3b_8$, $b_1 + b_3 = 15$.

2) Решите уравнение $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0$.

3) Решите систему неравенств
$\begin{cases} \frac{x - 9}{4} - x \ge \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \\ 2 - x \le 2x - 8 \end{cases}$

4) Упростите выражение $\frac{1}{x^{-1}} \cdot \frac{1}{x^{-4}}$ и найдите его значение при $x = -2$.

1)

Дана возрастающая геометрическая прогрессия, для которой верны равенства: $b_4 \cdot b_5 = 3b_8$ и $b_1 + b_3 = 15$.
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии.
Преобразуем первое равенство, подставив в него выражения для $b_4$, $b_5$ и $b_8$:
$b_4 = b_1 q^3$
$b_5 = b_1 q^4$
$b_8 = b_1 q^7$
$(b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4) = 3(b_1 q^7)$
$b_1^2 q^7 = 3b_1 q^7$
Поскольку для геометрической прогрессии $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 q^7$, получив:
$b_1 = 3$.

Теперь используем второе равенство $b_1 + b_3 = 15$.
Выразим $b_3$ через $b_1$ и $q$: $b_3 = b_1 q^2$.
$b_1 + b_1 q^2 = 15$
$b_1(1 + q^2) = 15$
Подставим найденное значение $b_1 = 3$:
$3(1 + q^2) = 15$
$1 + q^2 = 5$
$q^2 = 4$
Отсюда $q = 2$ или $q = -2$.

По условию прогрессия является возрастающей. Так как $b_1 = 3 > 0$, для возрастания прогрессии необходимо, чтобы знаменатель $q > 1$. Следовательно, выбираем $q = 2$.

Теперь найдем сумму первых семи членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:
$S_7 = \frac{3(2^7 - 1)}{2-1} = \frac{3(128 - 1)}{1} = 3 \cdot 127 = 381$.

Ответ: 381

2)

Дано уравнение $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно выражения $x^2 - 3x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 + 3t - 28 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, произведение корней равно -28, а их сумма равна -3. Корни легко находятся: $t_1 = 4$ и $t_2 = -7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.
Случай 1: $x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, произведение корней этого уравнения равно -4, а сумма равна 3. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $x^2 - 3x = -7$
$x^2 - 3x + 7 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: 4 и -1.

Ответ: -1; 4.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{x-9}{4} - x \ge \frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3} \\ 2-x \le 2x - 8 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:
$\frac{x-9}{4} - x \ge \frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3}$
Приведем все дроби к общему знаменателю 12 и умножим на него обе части неравенства:
$12 \cdot \frac{x-9}{4} - 12 \cdot x \ge 12 \cdot \frac{x-1}{2} - 12 \cdot \frac{x-2}{3}$
$3(x-9) - 12x \ge 6(x-1) - 4(x-2)$
$3x - 27 - 12x \ge 6x - 6 - 4x + 8$
$-9x - 27 \ge 2x + 2$
$-27 - 2 \ge 2x + 9x$
$-29 \ge 11x$
$x \le -\frac{29}{11}$

Теперь решим второе неравенство:
$2 - x \le 2x - 8$
$2 + 8 \le 2x + x$
$10 \le 3x$
$x \ge \frac{10}{3}$

Мы получили систему из двух условий: $x \le -\frac{29}{11}$ и $x \ge \frac{10}{3}$.
Поскольку $-\frac{29}{11} \approx -2.64$, а $\frac{10}{3} \approx 3.33$, не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше отрицательного числа и больше положительного. Следовательно, пересечение множеств решений пусто.

Ответ: нет решений.

4)

Упростим выражение $\frac{1}{x^{-1}} \cdot \frac{1}{x^{-4}}$.
Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, из которого следует, что $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Применим это свойство к каждому множителю в выражении:
$\frac{1}{x^{-1}} = x^1 = x$
$\frac{1}{x^{-4}} = x^4$
Тогда исходное выражение можно переписать как:
$x \cdot x^4$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^1 \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5$.

Найдем значение полученного выражения при $x = -2$:
$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Ответ: -32.

26. 1) Два рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч быстрее, чем второй рабочий, работая отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

2) Решите уравнение $(x^2 - 6x)^2 - 6(x^2 - 6x) + 9 = 81$.

3) Решите систему уравнений $\begin{cases} \frac{3}{x} - \frac{5}{y} = 2, \\ \frac{7}{x} + \frac{10}{y} = 9. \end{cases}$

4) Сравните значения выражений $8^{1,2}$ и $0,5^{-2}$.

1)

Обозначим всю работу за 1. Пусть $x$ часов – время, за которое первый рабочий выполняет всю работу, работая отдельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $1/x$.

По условию, первый рабочий выполняет работу на 5 часов быстрее, чем второй. Значит, второму рабочему требуется $x+5$ часов на выполнение всей работы. Его производительность равна $1/(x+5)$.

Работая вместе, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

Вместе они выполняют работу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $1/6$. Составим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$):

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как время не может быть отрицательным, корень $x_2 = -3$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время работы первого рабочего $x = 10$ часов.

Время работы второго рабочего равно $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить всю работу за 10 часов, а второй – за 15 часов.

2)

Дано уравнение $(x^2 - 6x)^2 - 6(x^2 - 6x) + 9 = 81$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x^2 - 6x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 9 = 81$

Левая часть является полным квадратом разности $(t-3)^2$:

$(t-3)^2 = 81$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$t-3 = 9$ или $t-3 = -9$

Решим каждое из этих уравнений для $t$:

$t_1 = 9 + 3 = 12$

$t_2 = -9 + 3 = -6$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t=12$

$x^2 - 6x = 12$

$x^2 - 6x - 12 = 0$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 36 + 48 = 84$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 3 \pm \sqrt{21}$

Случай 2: $t=-6$

$x^2 - 6x = -6$

$x^2 - 6x + 6 = 0$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

Ответ: $3 - \sqrt{21}; 3 + \sqrt{21}; 3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3}{x} - \frac{5}{y} = 2, \\ \frac{7}{x} + \frac{10}{y} = 9. \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} 3a - 5b = 2, \\ 7a + 10b = 9. \end{cases}$

Решим эту систему линейных уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$2(3a - 5b) = 2 \cdot 2 \implies 6a - 10b = 4$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(6a - 10b) + (7a + 10b) = 4 + 9$

$13a = 13$

$a = 1$

Подставим значение $a=1$ в первое уравнение исходной системы для $a$ и $b$ ($3a - 5b = 2$):

$3(1) - 5b = 2$

$3 - 5b = 2$

$-5b = -1$

$b = \frac{1}{5}$

Выполним обратную замену:

$a = \frac{1}{x} \implies 1 = \frac{1}{x} \implies x=1$

$b = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{5} = \frac{1}{y} \implies y=5$

Ответ: $(1; 5)$.

4)

Требуется сравнить значения выражений $8^{1,2}$ и $0,5^{-2}$.

Преобразуем каждое выражение, приведя их к основанию 2.

Первое выражение:

$8^{1,2} = (2^3)^{1,2} = 2^{3 \cdot 1,2} = 2^{3,6}$

Второе выражение:

$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2$

Теперь сравним полученные выражения $2^{3,6}$ и $2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует большее значение функции.

Сравниваем показатели степеней: $3,6 > 2$.

Следовательно, $2^{3,6} > 2^2$.

Ответ: $8^{1,2} > 0,5^{-2}$.

27. 1) Найдите двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение этого числа на сумму его цифр равно 144.

2) Решите графически уравнение $x^2 - 4x = -3x + 6$.

3) Решите неравенство $\frac{(x - 5)(x + 7)}{x} < 0$.

4) Упростите выражение $\frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$ и найдите его значение при $a = \frac{1}{2}$.

1)

Пусть $x$ — цифра десятков искомого двузначного числа. Согласно условию, цифра единиц равна $x + 2$.

Двузначное число можно представить в виде $10x + (x + 2)$, что равно $11x + 2$.

Сумма цифр этого числа равна $x + (x + 2)$, что равно $2x + 2$.

По условию, произведение числа на сумму его цифр равно 144. Составим и решим уравнение:

$(11x + 2)(2x + 2) = 144$

$(11x + 2) \cdot 2(x + 1) = 144$

Разделим обе части уравнения на 2:

$(11x + 2)(x + 1) = 72$

Раскроем скобки:

$11x^2 + 11x + 2x + 2 = 72$

$11x^2 + 13x - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-70) = 169 + 3080 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 57}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 57}{2 \cdot 11} = \frac{-70}{22} = -\frac{35}{11}$

Так как $x$ — это цифра десятков, она должна быть целым числом от 1 до 9. Следовательно, подходит только корень $x_1 = 2$.

Если цифра десятков равна 2, то цифра единиц равна $2 + 2 = 4$.

Искомое число — 24.

Проверка: Сумма цифр числа 24 равна $2+4=6$. Произведение числа на сумму его цифр: $24 \cdot 6 = 144$. Условие выполняется.

Ответ: 24

2)

Для графического решения уравнения $x^2 - 4x = -3x + 6$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = x^2 - 4x$ и $y_2 = -3x + 6$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут решениями исходного уравнения.

1. Построим график функции $y_1 = x^2 - 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_v = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина находится в точке $(2, -4)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0$ и $x=4$.

2. Построим график функции $y_2 = -3x + 6$. Это прямая линия.
Для построения прямой достаточно двух точек:
Если $x=0$, то $y=6$. Точка $(0, 6)$.
Если $y=0$, то $-3x+6=0 \Rightarrow x=2$. Точка $(2, 0)$.

3. Построив графики на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем абсциссы этих точек.
Подставив предполагаемые значения $x$ в оба уравнения, убедимся, что значения $y$ совпадают.
При $x = -2$:
$y_1 = (-2)^2 - 4(-2) = 4 + 8 = 12$.
$y_2 = -3(-2) + 6 = 6 + 6 = 12$.
Следовательно, первая точка пересечения $(-2, 12)$.
При $x = 3$:
$y_1 = 3^2 - 4(3) = 9 - 12 = -3$.
$y_2 = -3(3) + 6 = -9 + 6 = -3$.
Следовательно, вторая точка пересечения $(3, -3)$.

Абсциссы точек пересечения графиков равны -2 и 3.

Ответ: -2; 3

3)

Для решения неравенства $\frac{(x-5)(x+7)}{x} < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нули числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$; $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.
Нуль знаменателя: $x=0$. (Эта точка всегда будет "выколотой", так как на ноль делить нельзя).

2. Отметим эти точки на числовой оси: -7, 0, 5. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{(x-5)(x+7)}{x}$ в каждом из интервалов, подставив любое значение из этого интервала.
Интервал $(5; \infty)$: пусть $x=6$. $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
Интервал $(0; 5)$: пусть $x=1$. $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
Интервал $(-7; 0)$: пусть $x=-1$. $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
Интервал $(-\infty; -7)$: пусть $x=-8$. $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

4. Согласно знаку неравенства ($<0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно. Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(0; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (0; 5)$

4)

Сначала упростим данное выражение $\frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$.

1. Упростим знаменатель, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7}$.

2. Теперь разделим числитель на полученный знаменатель, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9+7} = a^{-2}$.

3. Теперь подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$a^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \cdot 4 = 4$.

Ответ: 4

28. 1) Решите уравнение $ \frac{x^2 - 7x}{5} + \frac{x - 1}{3} = \frac{2x^2 - 5x - 3}{30} $

2) Решите неравенство $ \frac{2x - 3}{3x - 7} < 0 $

3) Решите уравнение $ x^2 + x^{-2} = 2 $

4) Сравните числа $ \sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}} $ и $ \sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}} $

1) Решите уравнение $\frac{x^2-7x}{5} + \frac{x-1}{3} = \frac{2x^2-5x-3}{30}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5, 3 и 30, которое равно 30.
$30 \cdot \frac{x^2-7x}{5} + 30 \cdot \frac{x-1}{3} = 30 \cdot \frac{2x^2-5x-3}{30}$
$6(x^2-7x) + 10(x-1) = 2x^2-5x-3$
Раскроем скобки:
$6x^2 - 42x + 10x - 10 = 2x^2 - 5x - 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$6x^2 - 32x - 10 = 2x^2 - 5x - 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 2x^2 - 32x + 5x - 10 + 3 = 0$
$4x^2 - 27x - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=4, b=-27, c=-7$
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$
$x_2 = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$
Ответ: $7; -0.25$.

2) Решите неравенство $\frac{2x-3}{3x-7} < 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$.
Нуль знаменателя: $3x - 7 = 0 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$.
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки будут "выколотыми". Заметим, что $1.5 < \frac{7}{3}$ (т.к. $1.5 = 3/2$).
Числовая ось разбивается на три интервала: $(-\infty; 1.5)$, $(1.5; \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}; +\infty)$.
Определим знак выражения $\frac{2x-3}{3x-7}$ в каждом интервале:
- При $x < 1.5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{3(0)-7} = \frac{-3}{-7} > 0$. Знак "+".
- При $1.5 < x < \frac{7}{3}$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{3(2)-7} = \frac{1}{-1} < 0$. Знак "-".
- При $x > \frac{7}{3}$ (например, $x=3$): $\frac{2(3)-3}{3(3)-7} = \frac{3}{2} > 0$. Знак "+".
Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "-".
Это интервал $(1.5; \frac{7}{3})$.
Ответ: $(1.5; \frac{7}{3})$.

3) Решите уравнение $x^2 + x^{-2} = 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
Перепишем уравнение: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $y > 0$.
Уравнение примет вид: $y + \frac{1}{y} = 2$.
Умножим обе части на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = 2y$
Перенесем все в левую часть:
$y^2 - 2y + 1 = 0$
Это формула квадрата разности: $(y-1)^2 = 0$.
Отсюда $y-1 = 0$, то есть $y=1$.
Это значение удовлетворяет условию $y > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$x^2 = y = 1$
Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $1; -1$.

4) Сравните числа $\sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}}$ и $\sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}$.
Обозначим первое число как $A = \sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}}$, а второе как $B = \sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}$.
Используем свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для положительных $a$ и $b$.
$A = \sqrt{\frac{17}{19} \cdot \frac{13}{23}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 13}{19 \cdot 23}}$
$B = \sqrt{\frac{17}{23} \cdot \frac{13}{19}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 13}{23 \cdot 19}}$
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется ($19 \cdot 23 = 23 \cdot 19$), выражения под корнем для $A$ и $B$ одинаковы.
Следовательно, $A = B$.
Другой способ - возвести оба числа в квадрат, так как они оба положительны.
$A^2 = \left(\sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}}\right)^2 = \frac{17}{19} \cdot \frac{13}{23} = \frac{17 \cdot 13}{19 \cdot 23}$
$B^2 = \left(\sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}\right)^2 = \frac{17}{23} \cdot \frac{13}{19} = \frac{17 \cdot 13}{23 \cdot 19}$
Так как $A^2 = B^2$ и $A > 0, B > 0$, то $A=B$.
Ответ: числа равны.