Страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение:

а) $ax^2 - (4a + 1)x + 9a = 0$;

б) $ax^2 + (3a - 1)x - 4a = 0$;

в) $ax^2 - (2a + 1)x + a = 0$;

г) $4ax^2 - 4x + a - 1 = 0$

имеет единственный корень; имеет два различных корня; не имеет корней.

Для решения задачи проанализируем каждое уравнение отдельно. Количество корней уравнения зависит от того, является ли оно линейным или квадратным. Это определяется значением параметра $a$.

Общий подход:

1. Рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. В этом случае уравнение становится линейным.

2. Рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Уравнение является квадратным, и количество его корней определяется знаком дискриминанта $D$.

• $D > 0$: два различных корня.
• $D = 0$: один корень (или два совпадающих).
• $D < 0$: нет действительных корней.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - (4a + 1)x + 9a = 0$.

1. При $a=0$ уравнение становится линейным: $-(4 \cdot 0 + 1)x + 9 \cdot 0 = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда $x=0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (-(4a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot (9a) = (4a+1)^2 - 36a^2 = 16a^2 + 8a + 1 - 36a^2 = -20a^2 + 8a + 1$.

Теперь исследуем знак дискриминанта. Найдем корни уравнения $-20a^2 + 8a + 1 = 0$:

$a = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-20)(1)}}{2(-20)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{-40} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{-40} = \frac{-8 \pm 12}{-40}$.

Корни: $a_1 = \frac{4}{-40} = -\frac{1}{10}$ и $a_2 = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$.

Так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-20$), ветви параболы $y(a) = -20a^2 + 8a + 1$ направлены вниз.

• Уравнение имеет единственный корень при $D=0$, то есть при $a = -\frac{1}{10}$ и $a = \frac{1}{2}$.
• Уравнение имеет два различных корня при $D>0$, то есть при $a \in (-\frac{1}{10}, \frac{1}{2})$. Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, интервал будет $a \in (-\frac{1}{10}, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$.
• Уравнение не имеет корней при $D<0$, то есть при $a < -\frac{1}{10}$ или $a > \frac{1}{2}$.

Объединяя результаты для $a=0$ и $a \neq 0$, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a \in \{-\frac{1}{10}, 0, \frac{1}{2}\}$;
имеет два различных корня при $a \in (-\frac{1}{10}, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$;
не имеет корней при $a \in (-\infty, -\frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Рассмотрим уравнение $ax^2 + (3a - 1)x - 4a = 0$.

1. При $a=0$ уравнение становится линейным: $(3 \cdot 0 - 1)x - 4 \cdot 0 = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда $x=0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (3a - 1)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4a) = 9a^2 - 6a + 1 + 16a^2 = 25a^2 - 6a + 1$.

Чтобы определить знак этого выражения, найдем дискриминант квадратного трехчлена $25a^2 - 6a + 1$ относительно переменной $a$:

$D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 36 - 100 = -64$.

Так как $D_a < 0$ и старший коэффициент $25 > 0$, трехчлен $25a^2 - 6a + 1$ всегда положителен. Следовательно, $D > 0$ для любого значения $a$.

Это означает, что при любом $a \neq 0$ исходное уравнение всегда имеет два различных корня.

Объединяя результаты, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a = 0$;
имеет два различных корня при $a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$;
значений $a$, при которых уравнение не имеет корней, не существует.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - (2a + 1)x + a = 0$.

1. При $a=0$ уравнение становится линейным: $-(2 \cdot 0 + 1)x + 0 = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда $x=0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot a = (2a+1)^2 - 4a^2 = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 = 4a + 1$.

Знак дискриминанта зависит от знака выражения $4a+1$.

• Уравнение имеет единственный корень при $D=0$, то есть при $4a+1=0$, откуда $a = -\frac{1}{4}$.
• Уравнение имеет два различных корня при $D>0$, то есть при $4a+1>0$, откуда $a > -\frac{1}{4}$. Учитывая условие $a \neq 0$, получаем $a \in (-\frac{1}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.
• Уравнение не имеет корней при $D<0$, то есть при $4a+1<0$, откуда $a < -\frac{1}{4}$.

Объединяя результаты для $a=0$ и $a \neq 0$, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a \in \{-\frac{1}{4}, 0\}$;
имеет два различных корня при $a \in (-\frac{1}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$;
не имеет корней при $a \in (-\infty, -\frac{1}{4})$.

Рассмотрим уравнение $4ax^2 - 4x + a - 1 = 0$.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $4a$. Он обращается в ноль при $a=0$. В этом случае уравнение становится линейным: $-4x - 1 = 0$, откуда $x = -\frac{1}{4}$. Уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Для удобства найдем четверть дискриминанта $D/4$ (его знак совпадает со знаком $D$):

$\frac{D}{4} = (-2)^2 - 4a(a-1) = 4 - 4a^2 + 4a = -4a^2 + 4a + 4$.

Исследуем знак этого выражения. Найдем корни уравнения $-4a^2 + 4a + 4 = 0$, что эквивалентно $a^2 - a - 1 = 0$:

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Корни: $a_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-4$), ветви параболы $y(a) = -4a^2 + 4a + 4$ направлены вниз.

• Уравнение имеет единственный корень при $D=0$, то есть при $a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
• Уравнение имеет два различных корня при $D>0$, то есть при $a \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$. Учитывая $a \neq 0$, получаем $a \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$.
• Уравнение не имеет корней при $D<0$, то есть при $a < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ или $a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Объединяя результаты для $a=0$ и $a \neq 0$, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a \in \{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$;
имеет два различных корня при $a \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$;
не имеет корней при $a \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

2. Найдите наименьшее значение суммы $x^2 + y^2$, если $(x; y)$ – решение системы уравнений

$\begin{cases} x - 3y = a, \\ 3x - y = a + 2. \end{cases}$ При каком значении $a$ достигается это наименьшее значение?

Для решения задачи сначала необходимо выразить переменные $x$ и $y$ через параметр $a$ из данной системы линейных уравнений:

$\begin{cases}x - 3y = a \\3x - y = a + 2\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = a + 3y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(a + 3y) - y = a + 2$

$3a + 9y - y = a + 2$

$8y = 2 - 2a$

$y = \frac{2 - 2a}{8} = \frac{1 - a}{4}$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ обратно в выражение для $x$:

$x = a + 3y = a + 3\left(\frac{1 - a}{4}\right) = \frac{4a + 3(1 - a)}{4} = \frac{4a + 3 - 3a}{4} = \frac{a + 3}{4}$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = \frac{a+3}{4}$ и $y = \frac{1-a}{4}$.

Далее найдем выражение для суммы $x^2 + y^2$. Обозначим эту сумму как функцию $S(a)$:

$S(a) = x^2 + y^2 = \left(\frac{a+3}{4}\right)^2 + \left(\frac{1-a}{4}\right)^2$

$S(a) = \frac{(a+3)^2 + (1-a)^2}{16} = \frac{(a^2 + 6a + 9) + (1 - 2a + a^2)}{16}$

$S(a) = \frac{2a^2 + 4a + 10}{16} = \frac{a^2 + 2a + 5}{8}$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = \frac{1}{8}a^2 + \frac{1}{4}a + \frac{5}{8}$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $a^2$ положителен $(\frac{1}{8} > 0)$. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата вершины параболы $f(t) = At^2 + Bt + C$ находится по формуле $t_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A=\frac{1}{8}$ и $B=\frac{1}{4}$.

Найдем значение $a$, при котором достигается минимум:

$a_0 = -\frac{1/4}{2 \cdot (1/8)} = -\frac{1/4}{1/4} = -1$

Теперь мы можем ответить на оба вопроса задачи.

Найдите наименьшее значение суммы $x^2 + y^2$

Для нахождения наименьшего значения подставим $a = -1$ в выражение для суммы $S(a)$:

$S_{min} = S(-1) = \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 5}{8} = \frac{1 - 2 + 5}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение суммы $x^2 + y^2$ равно $\frac{1}{2}$.

При каком значении $a$ достигается это наименьшее значение?

Как было найдено при исследовании функции $S(a)$, её наименьшее значение достигается в вершине параболы, что соответствует значению $a = -1$.

Ответ: наименьшее значение достигается при $a = -1$.

3. Найдите все значения $a$, для каждого из которых неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a > 0$ не имеет решений.

Неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда противоположное неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a \le 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, исходное неравенство принимает вид:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 + 1)x + 0 > 0$

$-x > 0$

$x < 0$

В этом случае неравенство имеет решения (все отрицательные числа), что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $a = 0$ не является решением.

Случай 2: $a \ne 0$

В этом случае мы имеем дело с квадратичной функцией $f(x) = ax^2 - (2a + 1)x + a$. Графиком этой функции является парабола.

Неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a > 0$ не будет иметь решений, если график параболы полностью лежит ниже оси абсцисс или касается ее в одной точке, то есть $f(x) \le 0$ для всех $x$.

Это возможно только при выполнении двух условий одновременно:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным: $a < 0$.

2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью абсцисс. Это означает, что дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше либо равен нулю: $D \le 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot a = (2a + 1)^2 - 4a^2 = (4a^2 + 4a + 1) - 4a^2 = 4a + 1$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:

$4a + 1 \le 0$

$4a \le -1$

$a \le -1/4$

Объединим оба условия для этого случая в систему:

$\begin{cases} a < 0 \\ a \le -1/4 \end{cases}$

Решением этой системы является $a \le -1/4$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное неравенство не имеет решений при $a \le -1/4$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1/4]$.

4. При каких значениях $a$ система неравенств:

а) $\begin{cases} 4x - 4a > 2ax - 5, \\ 6x - 2a < 3ax + 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 9x - 2a > 3ax - 1, \\ 6x - 3a < 2ax + 2 \end{cases}$

имеет решения?

а)

Заданная система неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 4a > 2ax - 5 \\ 6x - 2a < 3ax + 5 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, сгруппировав члены с переменной $x$ в одной части, а остальные — в другой.

Из первого неравенства получаем:

$4x - 2ax > 4a - 5$

$x(4 - 2a) > 4a - 5$

Из второго неравенства получаем:

$6x - 3ax < 2a + 5$

$x(6 - 3a) < 2a + 5$

Решение системы зависит от знаков коэффициентов при $x$, то есть от выражений $4 - 2a$ и $6 - 3a$. Оба выражения обращаются в ноль при $a = 2$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a = 2$.

При $a = 2$ система принимает вид:

$ \begin{cases} x(4 - 4) > 4(2) - 5 \\ x(6 - 6) < 2(2) + 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot x > 3 \\ 0 \cdot x < 9 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 > 3 & \text{(неверно)} \\ 0 < 9 & \text{(верно)} \end{cases} $

Так как первое неравенство не имеет решений, вся система при $a=2$ решений не имеет.

Случай 2: $a < 2$.

В этом случае $4 - 2a > 0$ и $6 - 3a > 0$. Знаки неравенств при делении на эти выражения сохраняются:

$ \begin{cases} x > \frac{4a - 5}{4 - 2a} \\ x < \frac{2a + 5}{6 - 3a} \end{cases} $

Система имеет решения, если интервал, задаваемый этими неравенствами, не является пустым. Это означает, что нижняя граница для $x$ должна быть меньше верхней:

$\frac{4a - 5}{4 - 2a} < \frac{2a + 5}{6 - 3a}$

Упростим знаменатели: $\frac{4a - 5}{2(2 - a)} < \frac{2a + 5}{3(2 - a)}$.

Поскольку $a < 2$, то $2 - a > 0$. Умножим обе части неравенства на положительное число $6(2-a)$:

$3(4a - 5) < 2(2a + 5)$

$12a - 15 < 4a + 10$

$8a < 25$

$a < \frac{25}{8}$

Мы рассматриваем случай $a < 2$. Так как $2 = \frac{16}{8}$, то условие $a < 2$ автоматически удовлетворяет условию $a < \frac{25}{8}$. Следовательно, при всех $a < 2$ система имеет решения.

Случай 3: $a > 2$.

В этом случае $4 - 2a < 0$ и $6 - 3a < 0$. При делении на эти отрицательные выражения знаки неравенств меняются на противоположные:

$ \begin{cases} x < \frac{4a - 5}{4 - 2a} \\ x > \frac{2a + 5}{6 - 3a} \end{cases} $

Система имеет решения, если нижняя граница для $x$ меньше верхней:

$\frac{2a + 5}{6 - 3a} < \frac{4a - 5}{4 - 2a}$

$\frac{2a + 5}{-3(a - 2)} < \frac{4a - 5}{-2(a - 2)}$

Поскольку $a > 2$, то $a - 2 > 0$. Умножим обе части на отрицательное число $-6(a-2)$, изменив знак неравенства:

$2(2a + 5) > 3(4a - 5)$

$4a + 10 > 12a - 15$

$25 > 8a$

$a < \frac{25}{8}$

Учитывая исходное условие для этого случая ($a > 2$), получаем, что система имеет решения при $2 < a < \frac{25}{8}$.

Объединяя все полученные результаты, заключаем, что система имеет решения при $a \in (-\infty; 2) \cup (2; \frac{25}{8})$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; \frac{25}{8})$.

б)

Заданная система неравенств:

$ \begin{cases} 9x - 2a > 3ax - 1 \\ 6x - 3a < 2ax + 2 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $x$.

Первое неравенство:

$9x - 3ax > 2a - 1$

$x(9 - 3a) > 2a - 1$

Второе неравенство:

$6x - 2ax < 3a + 2$

$x(6 - 2a) < 3a + 2$

Решение системы зависит от знаков коэффициентов $9 - 3a$ и $6 - 2a$. Оба выражения обращаются в ноль при $a = 3$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a = 3$.

При $a = 3$ система принимает вид:

$ \begin{cases} x(9 - 9) > 2(3) - 1 \\ x(6 - 6) < 3(3) + 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot x > 5 \\ 0 \cdot x < 11 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 > 5 & \text{(неверно)} \\ 0 < 11 & \text{(верно)} \end{cases} $

Поскольку первое неравенство неверно, система при $a=3$ решений не имеет.

Случай 2: $a < 3$.

В этом случае $9 - 3a > 0$ и $6 - 2a > 0$. Знаки неравенств сохраняются:

$ \begin{cases} x > \frac{2a - 1}{9 - 3a} \\ x < \frac{3a + 2}{6 - 2a} \end{cases} $

Система имеет решения, если нижняя граница для $x$ меньше верхней:

$\frac{2a - 1}{9 - 3a} < \frac{3a + 2}{6 - 2a}$

$\frac{2a - 1}{3(3 - a)} < \frac{3a + 2}{2(3 - a)}$

Так как $a < 3$, то $3-a > 0$. Умножим обе части на $6(3-a) > 0$:

$2(2a - 1) < 3(3a + 2)$

$4a - 2 < 9a + 6$

$-8 < 5a$

$a > -\frac{8}{5}$

Совмещая с условием $a < 3$, получаем, что система имеет решения при $-\frac{8}{5} < a < 3$.

Случай 3: $a > 3$.

В этом случае $9 - 3a < 0$ и $6 - 2a < 0$. Знаки неравенств меняются на противоположные:

$ \begin{cases} x < \frac{2a - 1}{9 - 3a} \\ x > \frac{3a + 2}{6 - 2a} \end{cases} $

Система имеет решения, если нижняя граница для $x$ меньше верхней:

$\frac{3a + 2}{6 - 2a} < \frac{2a - 1}{9 - 3a}$

$\frac{3a + 2}{-2(a - 3)} < \frac{2a - 1}{-3(a - 3)}$

Так как $a > 3$, то $a - 3 > 0$. Умножим обе части на $-6(a-3) < 0$, изменив знак неравенства:

$3(3a + 2) > 2(2a - 1)$

$9a + 6 > 4a - 2$

$5a > -8$

$a > -\frac{8}{5}$

Условие $a > 3$ гарантирует выполнение условия $a > -8/5$. Таким образом, при всех $a > 3$ система имеет решения.

Объединяя результаты, получаем, что система имеет решения при $a \in (-\frac{8}{5}; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\frac{8}{5}; 3) \cup (3; +\infty)$.

5. При каких значениях a система неравенств:

а) $ \begin{cases} 9x - 5a > 3ax + 2, \\ 6x + 2a < 2ax - 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x - 2a > 3ax + 13, \\ 4x + 4a < 2ax - 5 \end{cases} $

не имеет решений?

a)

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых система неравенств не имеет решений, преобразуем каждое неравенство, выразив переменную $x$.

Исходная система:

$ \begin{cases} 9x - 5a > 3ax + 2 \\ 6x + 2a < 2ax - 7 \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$9x - 3ax > 5a + 2$

$x(9 - 3a) > 5a + 2$

$3x(3 - a) > 5a + 2$

Преобразуем второе неравенство:

$6x - 2ax < -2a - 7$

$x(6 - 2a) < -2a - 7$

$2x(3 - a) < -(2a + 7)$

Решение системы зависит от знака выражения $3 - a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $3 - a > 0$, то есть $a < 3$.

В этом случае коэффициенты при $x$ в преобразованных неравенствах положительны. Разделим на них, не меняя знаков неравенств:

$x > \frac{5a + 2}{9 - 3a}$

$x < \frac{-(2a + 7)}{6 - 2a}$

Система не будет иметь решений, если нижняя граница для $x$ будет больше или равна верхней границе:

$\frac{5a + 2}{9 - 3a} \ge \frac{-(2a + 7)}{6 - 2a}$

$\frac{5a + 2}{3(3 - a)} \ge \frac{-(2a + 7)}{2(3 - a)}$

Так как $3 - a > 0$, мы можем умножить обе части на $6(3 - a)$, не меняя знака неравенства:

$2(5a + 2) \ge -3(2a + 7)$

$10a + 4 \ge -6a - 21$

$16a \ge -25$

$a \ge -\frac{25}{16}$

С учетом условия $a < 3$, в этом случае система не имеет решений при $a \in [-\frac{25}{16}, 3)$.

Случай 2: $3 - a < 0$, то есть $a > 3$.

В этом случае коэффициенты при $x$ отрицательны. При делении на них знаки неравенств меняются на противоположные:

$x < \frac{5a + 2}{9 - 3a}$

$x > \frac{-(2a + 7)}{6 - 2a}$

Система не имеет решений, если нижняя граница для $x$ больше или равна верхней границе:

$\frac{-(2a + 7)}{6 - 2a} \ge \frac{5a + 2}{9 - 3a}$

Так как $3 - a < 0$, умножим обе части на $6(3 - a)$ (отрицательное число), изменив знак неравенства:

$-3(2a + 7) \le 2(5a + 2)$

$-6a - 21 \le 10a + 4$

$-25 \le 16a$

$a \ge -\frac{25}{16}$

С учетом условия $a > 3$, которое является более строгим, система не имеет решений при всех $a > 3$.

Случай 3: $3 - a = 0$, то есть $a = 3$.

Подставим $a = 3$ в первое исходное неравенство:

$9x - 5(3) > 3(3)x + 2$

$9x - 15 > 9x + 2$

$-15 > 2$

Получено неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что при $a=3$ первое неравенство не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений.

Объединяя результаты всех трех случаев ($[-\frac{25}{16}, 3)$, $(3, +\infty)$ и $a=3$), получаем, что система не имеет решений при $a \ge -\frac{25}{16}$.

Ответ: при $a \in [-\frac{25}{16}; +\infty)$.

б)

Рассмотрим вторую систему неравенств и найдем значения $a$, при которых она не имеет решений.

Исходная система:

$ \begin{cases} 6x - 2a > 3ax + 13 \\ 4x + 4a < 2ax - 5 \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$6x - 3ax > 2a + 13$

$x(6 - 3a) > 2a + 13$

$3x(2 - a) > 2a + 13$

Преобразуем второе неравенство:

$4x - 2ax < -4a - 5$

$x(4 - 2a) < -(4a + 5)$

$2x(2 - a) < -(4a + 5)$

Решение системы зависит от знака выражения $2 - a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $2 - a > 0$, то есть $a < 2$.

Коэффициенты при $x$ положительны. Делим на них, сохраняя знаки неравенств:

$x > \frac{2a + 13}{3(2 - a)}$

$x < \frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)}$

Система не имеет решений, если нижняя граница для $x$ больше или равна верхней:

$\frac{2a + 13}{3(2 - a)} \ge \frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)}$

Умножим обе части на $6(2 - a) > 0$:

$2(2a + 13) \ge -3(4a + 5)$

$4a + 26 \ge -12a - 15$

$16a \ge -41$

$a \ge -\frac{41}{16}$

С учетом условия $a < 2$, система не имеет решений при $a \in [-\frac{41}{16}, 2)$.

Случай 2: $2 - a < 0$, то есть $a > 2$.

Коэффициенты при $x$ отрицательны. При делении на них меняем знаки неравенств:

$x < \frac{2a + 13}{3(2 - a)}$

$x > \frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)}$

Система не имеет решений, если нижняя граница для $x$ больше или равна верхней:

$\frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)} \ge \frac{2a + 13}{3(2 - a)}$

Умножим обе части на $6(2 - a) < 0$, изменив знак неравенства:

$-3(4a + 5) \le 2(2a + 13)$

$-12a - 15 \le 4a + 26$

$-41 \le 16a$

$a \ge -\frac{41}{16}$

Учитывая условие $a > 2$ (которое является более сильным, так как $2 > -\frac{41}{16}$), система не имеет решений при всех $a > 2$.

Случай 3: $2 - a = 0$, то есть $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в первое исходное неравенство:

$6x - 2(2) > 3(2)x + 13$

$6x - 4 > 6x + 13$

$-4 > 13$

Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a=2$ система не имеет решений.

Объединяя результаты всех трех случаев ($[-\frac{41}{16}, 2)$, $(2, +\infty)$ и $a=2$), получаем, что система не имеет решений при $a \ge -\frac{41}{16}$.

Ответ: при $a \in [-\frac{41}{16}; +\infty)$.

6. В период бурного роста цен Сбербанк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депозитном вкладе в течение 12, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно. Какой доход можно было получить за год:

а) при двукратном вложении денег на 6 месяцев;

б) при четырёхкратном вложении денег на 3 месяца?

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов, так как доход, полученный за один период, прибавляется к основной сумме и в следующем периоде на него также начисляются проценты (реинвестирование).

Общая формула для расчета итоговой суммы $S$ при вложении первоначальной суммы $P$ на $n$ периодов с процентной ставкой $i$ за один период:

$S = P \cdot (1 + i)^n$

Доход при этом составит $S - P$.

а) при двукратном вложении денег на 6 месяцев

По условию, для вклада на 6 месяцев установлена ставка $130\%$ годовых. Поскольку в году два периода по 6 месяцев, то ставка за один 6-месячный период составит половину от годовой:

$i = \frac{130\%}{2} = 65\% = 0.65$

Деньги вкладываются дважды, то есть количество периодов начисления $n=2$. Пусть начальная сумма равна $P$. Тогда через год (два периода по 6 месяцев) сумма на счете составит:

$S = P \cdot (1 + 0.65)^2 = P \cdot 1.65^2 = P \cdot 2.7225$

Доход за год равен разнице между конечной и начальной суммой:

Доход $= S - P = 2.7225 \cdot P - P = 1.7225 \cdot P$

Чтобы выразить доход в процентах от первоначальной суммы, умножим полученный коэффициент на 100%:

$1.7225 \cdot 100\% = 172.25\%$

Ответ: 172,25%.

б) при четырёхкратном вложении денег на 3 месяца

Для вклада на 3 месяца установлена ставка $120\%$ годовых. В году четыре периода по 3 месяца ($12 / 3 = 4$), поэтому ставка за один 3-месячный период составит четверть от годовой:

$i = \frac{120\%}{4} = 30\% = 0.30$

Деньги вкладываются четыре раза, то есть количество периодов начисления $n=4$. Пусть начальная сумма равна $P$. Тогда через год (четыре периода по 3 месяца) сумма на счете составит:

$S = P \cdot (1 + 0.30)^4 = P \cdot 1.3^4$

Вычислим $1.3^4$:

$1.3^2 = 1.69$

$1.3^4 = (1.3^2)^2 = 1.69^2 = 2.8561$

Итак, итоговая сумма $S = P \cdot 2.8561$.

Доход за год равен:

Доход $= S - P = 2.8561 \cdot P - P = 1.8561 \cdot P$

Выразим доход в процентах от первоначальной суммы:

$1.8561 \cdot 100\% = 185.61\%$

Ответ: 185,61%.

7. Каким наибольшим целым числом $x$ должен выражаться процент годовых для депозитных вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 1 год под $p$% годовых? Каким наибольшим целым числом $y$ должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 6 месяцев?

Решите задачу в общем виде, проведите расчёты для $p = 150$.

Для решения задачи будем использовать формулу сложных процентов. Пусть $S$ - начальная сумма вклада.

Каким наибольшим целым числом x должен выражаться процент годовых для депозитных вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 1 год под p% годовых?

Сначала решим задачу в общем виде.

1. Доход от вклада на 1 год под $p\%$ годовых составляет:
$D_p = S \cdot (1 + \frac{p}{100}) - S = S \cdot \frac{p}{100}$

2. Вклад на 6 месяцев под $x\%$ годовых означает, что за полгода начисляется $\frac{x}{2}\%$. При двукратном использовании этого вклада (с капитализацией процентов) итоговая сумма через год составит:
$S_x = S \cdot (1 + \frac{x/2}{100})^2 = S \cdot (1 + \frac{x}{200})^2$
Доход от этого вклада составит:
$D_x = S_x - S = S \cdot (1 + \frac{x}{200})^2 - S$

3. По условию, доход $D_x$ должен быть меньше дохода $D_p$:
$S \cdot ((1 + \frac{x}{200})^2 - 1) < S \cdot \frac{p}{100}$
Разделим обе части на $S$ (так как $S > 0$):
$(1 + \frac{x}{200})^2 - 1 < \frac{p}{100}$
Раскроем скобки:
$1 + 2 \cdot \frac{x}{200} + (\frac{x}{200})^2 - 1 < \frac{p}{100}$
$\frac{x}{100} + \frac{x^2}{40000} < \frac{p}{100}$
Умножим обе части на 40000, чтобы избавиться от знаменателей:
$400x + x^2 < 400p$
$x^2 + 400x - 400p < 0$

4. Мы получили квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 400x - 400p = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-400 \pm \sqrt{400^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400p)}}{2} = \frac{-400 \pm \sqrt{160000 + 1600p}}{2}$
$x = \frac{-400 \pm \sqrt{1600(100+p)}}{2} = \frac{-400 \pm 40\sqrt{100+p}}{2} = -200 \pm 20\sqrt{100+p}$
Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 400x - 400p$ направлены вверх, неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями. Поскольку процентная ставка $x$ должна быть положительной, нас интересует только положительный корень.
$x < -200 + 20\sqrt{100+p}$
Наибольшее целое число $x$ - это целая часть выражения справа.

5. Теперь проведем расчеты для $p = 150$:
$x < -200 + 20\sqrt{100+150} = -200 + 20\sqrt{250}$
$x < -200 + 20\sqrt{25 \cdot 10} = -200 + 20 \cdot 5\sqrt{10} = -200 + 100\sqrt{10}$
Зная, что $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{16} = 4$, оценим $\sqrt{10} \approx 3.162$:
$x < -200 + 100 \cdot 3.162 = -200 + 316.2 = 116.2$
Наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 116.

Ответ: Наибольшее целое $x = 116$.

Каким наибольшим целым числом y должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 6 месяцев?

Решение этой части зависит от найденного значения $x$.

1. Доход от вклада на 6 месяцев под $x\%$ годовых (где $x = 116$) составляет:
$D_{6мес} = S \cdot \frac{x/2}{100} = S \cdot \frac{x}{200}$

2. Вклад на 3 месяца под $y\%$ годовых означает, что за квартал начисляется $\frac{y}{4}\%$. При двукратном использовании этого вклада (два раза по 3 месяца, что составляет 6 месяцев) итоговая сумма составит:
$S_y = S \cdot (1 + \frac{y/4}{100})^2 = S \cdot (1 + \frac{y}{400})^2$
Доход от этого вклада составит:
$D_y = S_y - S = S \cdot ((1 + \frac{y}{400})^2 - 1)$

3. По условию, $D_y < D_{6мес}$:
$S \cdot ((1 + \frac{y}{400})^2 - 1) < S \cdot \frac{x}{200}$
$(1 + \frac{y}{400})^2 - 1 < \frac{x}{200}$
$1 + 2 \cdot \frac{y}{400} + (\frac{y}{400})^2 - 1 < \frac{x}{200}$
$\frac{y}{200} + \frac{y^2}{160000} < \frac{x}{200}$
Умножим обе части на 160000:
$800y + y^2 < 800x$
$y^2 + 800y - 800x < 0$

4. Снова решаем квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $y^2 + 800y - 800x = 0$:
$y = \frac{-800 \pm \sqrt{800^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800x)}}{2} = \frac{-800 \pm \sqrt{640000 + 3200x}}{2}$
$y = \frac{-800 \pm \sqrt{1600(400+2x)}}{2} = \frac{-800 \pm 40\sqrt{400+2x}}{2} = -400 \pm 20\sqrt{400+2x}$
По аналогии с предыдущим пунктом, для положительного $y$:
$y < -400 + 20\sqrt{400+2x}$

5. Подставим найденное ранее значение $x = 116$:
$y < -400 + 20\sqrt{400 + 2 \cdot 116} = -400 + 20\sqrt{400 + 232} = -400 + 20\sqrt{632}$
Оценим $\sqrt{632}$. Мы знаем, что $25^2 = 625$ и $26^2 = 676$. Значит, $\sqrt{632}$ немного больше 25. Возьмем $\sqrt{632} \approx 25.14$:
$y < -400 + 20 \cdot 25.14 = -400 + 502.8 = 102.8$
Наибольшее целое число $y$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 102.

Ответ: Наибольшее целое $y = 102$.

8. Из пункта $A$ в пункт $B$ по течению реки надо отбуксировать два плота с помощью катера, собственная скорость которого $20 \text{ км/ч}$. Катер может буксировать только один плот. Предложите способ буксировки, при котором оба плота будут переправлены из пункта $A$ в пункт $B$ за наименьшее время, если скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$, а расстояние $AB$ равно $58 \text{ км}$. Найдите наименьшее время буксировки плотов.

Способ буксировки, при котором оба плота будут переправлены за наименьшее время

Чтобы общее время переправки было минимальным, необходимо, чтобы оба плота прибыли в пункт B одновременно. Оптимальная стратегия для этого выглядит следующим образом:

1. Катер начинает буксировать первый плот (Плот 1) из пункта А по течению реки. Одновременно с этим второй плот (Плот 2) отправляется в свободное плавание по течению из того же пункта А.
2. Пройдя определенное расстояние, катер оставляет Плот 1 в некоторой промежуточной точке C. После этого Плот 1 продолжает двигаться к пункту B самостоятельно, со скоростью течения.
3. Катер, оставив Плот 1, немедленно разворачивается и плывет против течения навстречу Плоту 2.
4. Встретив Плот 2 в точке D, катер берет его на буксир и доставляет в пункт B.
5. Время и место, где катер оставляет первый плот, должны быть рассчитаны так, чтобы в итоге оба плота прибыли в пункт B в один и тот же момент. Это время и будет наименьшим.

Наименьшее время буксировки плотов

Для расчета введем следующие обозначения:
$v_k = 20$ км/ч — собственная скорость катера.
$v_r = 3$ км/ч — скорость течения реки.
$S = 58$ км — расстояние от А до B.

Рассчитаем скорости движения:
Скорость катера по течению (с плотом или без): $v_{по} = v_k + v_r = 20 + 3 = 23$ км/ч.
Скорость катера против течения: $v_{пр} = v_k - v_r = 20 - 3 = 17$ км/ч.
Скорость плота (равна скорости течения): $v_{пл} = v_r = 3$ км/ч.

Пусть $T$ — искомое наименьшее общее время, а $t_1$ — время, в течение которого катер буксировал первый плот.

Рассмотрим движение первого плота. Он $t_1$ часов двигался с катером со скоростью $v_{по}$, а оставшееся время $(T - t_1)$ часов плыл самостоятельно со скоростью $v_{пл}$. Весь путь равен $S$:
$S = v_{по} \cdot t_1 + v_{пл} \cdot (T - t_1)$
$58 = 23 \cdot t_1 + 3 \cdot (T - t_1)$
$58 = 23t_1 + 3T - 3t_1$
$58 = 20t_1 + 3T$ (Уравнение 1)

Теперь рассмотрим движение второго плота. Он плыл самостоятельно, пока его не встретил возвращающийся катер. Найдем время $t_{встр}$ этой встречи. В момент $t_1$ катер находится на расстоянии $23t_1$ от А и разворачивается. Второй плот в этот же момент находится на расстоянии $3t_1$ от А. Расстояние между ними — $23t_1 - 3t_1 = 20t_1$. Скорость их сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v_{пр} + v_{пл} = 17 + 3 = 20$ км/ч. Время до встречи $t_2 = \frac{20t_1}{20} = t_1$. Таким образом, встреча катера и второго плота произойдет в момент времени $t_{встр} = t_1 + t_2 = 2t_1$.

Второй плот до момента встречи $2t_1$ плыл со скоростью $v_{пл}$, а оставшееся время $(T - 2t_1)$ его буксировал катер со скоростью $v_{по}$. Весь путь также равен $S$:
$S = v_{пл} \cdot (2t_1) + v_{по} \cdot (T - 2t_1)$
$58 = 3 \cdot (2t_1) + 23 \cdot (T - 2t_1)$
$58 = 6t_1 + 23T - 46t_1$
$58 = 23T - 40t_1$ (Уравнение 2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с неизвестными $T$ и $t_1$:
$\begin{cases} 58 = 20t_1 + 3T \\ 58 = -40t_1 + 23T \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от $t_1$:
$116 = 40t_1 + 6T$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$116 + 58 = (40t_1 + 6T) + (-40t_1 + 23T)$
$174 = 29T$
$T = \frac{174}{29} = 6$

Таким образом, наименьшее время, за которое можно переправить оба плота, составляет 6 часов.

Ответ: 6 часов.