Номер 7, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

7. Каким наибольшим целым числом $x$ должен выражаться процент годовых для депозитных вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 1 год под $p$% годовых? Каким наибольшим целым числом $y$ должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 6 месяцев?

Решите задачу в общем виде, проведите расчёты для $p = 150$.

Для решения задачи будем использовать формулу сложных процентов. Пусть $S$ - начальная сумма вклада.

Каким наибольшим целым числом x должен выражаться процент годовых для депозитных вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 1 год под p% годовых?

Сначала решим задачу в общем виде.

1. Доход от вклада на 1 год под $p\%$ годовых составляет:
$D_p = S \cdot (1 + \frac{p}{100}) - S = S \cdot \frac{p}{100}$

2. Вклад на 6 месяцев под $x\%$ годовых означает, что за полгода начисляется $\frac{x}{2}\%$. При двукратном использовании этого вклада (с капитализацией процентов) итоговая сумма через год составит:
$S_x = S \cdot (1 + \frac{x/2}{100})^2 = S \cdot (1 + \frac{x}{200})^2$
Доход от этого вклада составит:
$D_x = S_x - S = S \cdot (1 + \frac{x}{200})^2 - S$

3. По условию, доход $D_x$ должен быть меньше дохода $D_p$:
$S \cdot ((1 + \frac{x}{200})^2 - 1) < S \cdot \frac{p}{100}$
Разделим обе части на $S$ (так как $S > 0$):
$(1 + \frac{x}{200})^2 - 1 < \frac{p}{100}$
Раскроем скобки:
$1 + 2 \cdot \frac{x}{200} + (\frac{x}{200})^2 - 1 < \frac{p}{100}$
$\frac{x}{100} + \frac{x^2}{40000} < \frac{p}{100}$
Умножим обе части на 40000, чтобы избавиться от знаменателей:
$400x + x^2 < 400p$
$x^2 + 400x - 400p < 0$

4. Мы получили квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 400x - 400p = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-400 \pm \sqrt{400^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400p)}}{2} = \frac{-400 \pm \sqrt{160000 + 1600p}}{2}$
$x = \frac{-400 \pm \sqrt{1600(100+p)}}{2} = \frac{-400 \pm 40\sqrt{100+p}}{2} = -200 \pm 20\sqrt{100+p}$
Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 400x - 400p$ направлены вверх, неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями. Поскольку процентная ставка $x$ должна быть положительной, нас интересует только положительный корень.
$x < -200 + 20\sqrt{100+p}$
Наибольшее целое число $x$ - это целая часть выражения справа.

5. Теперь проведем расчеты для $p = 150$:
$x < -200 + 20\sqrt{100+150} = -200 + 20\sqrt{250}$
$x < -200 + 20\sqrt{25 \cdot 10} = -200 + 20 \cdot 5\sqrt{10} = -200 + 100\sqrt{10}$
Зная, что $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{16} = 4$, оценим $\sqrt{10} \approx 3.162$:
$x < -200 + 100 \cdot 3.162 = -200 + 316.2 = 116.2$
Наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 116.

Ответ: Наибольшее целое $x = 116$.

Каким наибольшим целым числом y должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад на 6 месяцев?

Решение этой части зависит от найденного значения $x$.

1. Доход от вклада на 6 месяцев под $x\%$ годовых (где $x = 116$) составляет:
$D_{6мес} = S \cdot \frac{x/2}{100} = S \cdot \frac{x}{200}$

2. Вклад на 3 месяца под $y\%$ годовых означает, что за квартал начисляется $\frac{y}{4}\%$. При двукратном использовании этого вклада (два раза по 3 месяца, что составляет 6 месяцев) итоговая сумма составит:
$S_y = S \cdot (1 + \frac{y/4}{100})^2 = S \cdot (1 + \frac{y}{400})^2$
Доход от этого вклада составит:
$D_y = S_y - S = S \cdot ((1 + \frac{y}{400})^2 - 1)$

3. По условию, $D_y < D_{6мес}$:
$S \cdot ((1 + \frac{y}{400})^2 - 1) < S \cdot \frac{x}{200}$
$(1 + \frac{y}{400})^2 - 1 < \frac{x}{200}$
$1 + 2 \cdot \frac{y}{400} + (\frac{y}{400})^2 - 1 < \frac{x}{200}$
$\frac{y}{200} + \frac{y^2}{160000} < \frac{x}{200}$
Умножим обе части на 160000:
$800y + y^2 < 800x$
$y^2 + 800y - 800x < 0$

4. Снова решаем квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $y^2 + 800y - 800x = 0$:
$y = \frac{-800 \pm \sqrt{800^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800x)}}{2} = \frac{-800 \pm \sqrt{640000 + 3200x}}{2}$
$y = \frac{-800 \pm \sqrt{1600(400+2x)}}{2} = \frac{-800 \pm 40\sqrt{400+2x}}{2} = -400 \pm 20\sqrt{400+2x}$
По аналогии с предыдущим пунктом, для положительного $y$:
$y < -400 + 20\sqrt{400+2x}$

5. Подставим найденное ранее значение $x = 116$:
$y < -400 + 20\sqrt{400 + 2 \cdot 116} = -400 + 20\sqrt{400 + 232} = -400 + 20\sqrt{632}$
Оценим $\sqrt{632}$. Мы знаем, что $25^2 = 625$ и $26^2 = 676$. Значит, $\sqrt{632}$ немного больше 25. Возьмем $\sqrt{632} \approx 25.14$:
$y < -400 + 20 \cdot 25.14 = -400 + 502.8 = 102.8$
Наибольшее целое число $y$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 102.

Ответ: Наибольшее целое $y = 102$.