Номер 5, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

5. При каких значениях a система неравенств:

а) $ \begin{cases} 9x - 5a > 3ax + 2, \\ 6x + 2a < 2ax - 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x - 2a > 3ax + 13, \\ 4x + 4a < 2ax - 5 \end{cases} $

не имеет решений?

a)

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых система неравенств не имеет решений, преобразуем каждое неравенство, выразив переменную $x$.

Исходная система:

$ \begin{cases} 9x - 5a > 3ax + 2 \\ 6x + 2a < 2ax - 7 \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$9x - 3ax > 5a + 2$

$x(9 - 3a) > 5a + 2$

$3x(3 - a) > 5a + 2$

Преобразуем второе неравенство:

$6x - 2ax < -2a - 7$

$x(6 - 2a) < -2a - 7$

$2x(3 - a) < -(2a + 7)$

Решение системы зависит от знака выражения $3 - a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $3 - a > 0$, то есть $a < 3$.

В этом случае коэффициенты при $x$ в преобразованных неравенствах положительны. Разделим на них, не меняя знаков неравенств:

$x > \frac{5a + 2}{9 - 3a}$

$x < \frac{-(2a + 7)}{6 - 2a}$

Система не будет иметь решений, если нижняя граница для $x$ будет больше или равна верхней границе:

$\frac{5a + 2}{9 - 3a} \ge \frac{-(2a + 7)}{6 - 2a}$

$\frac{5a + 2}{3(3 - a)} \ge \frac{-(2a + 7)}{2(3 - a)}$

Так как $3 - a > 0$, мы можем умножить обе части на $6(3 - a)$, не меняя знака неравенства:

$2(5a + 2) \ge -3(2a + 7)$

$10a + 4 \ge -6a - 21$

$16a \ge -25$

$a \ge -\frac{25}{16}$

С учетом условия $a < 3$, в этом случае система не имеет решений при $a \in [-\frac{25}{16}, 3)$.

Случай 2: $3 - a < 0$, то есть $a > 3$.

В этом случае коэффициенты при $x$ отрицательны. При делении на них знаки неравенств меняются на противоположные:

$x < \frac{5a + 2}{9 - 3a}$

$x > \frac{-(2a + 7)}{6 - 2a}$

Система не имеет решений, если нижняя граница для $x$ больше или равна верхней границе:

$\frac{-(2a + 7)}{6 - 2a} \ge \frac{5a + 2}{9 - 3a}$

Так как $3 - a < 0$, умножим обе части на $6(3 - a)$ (отрицательное число), изменив знак неравенства:

$-3(2a + 7) \le 2(5a + 2)$

$-6a - 21 \le 10a + 4$

$-25 \le 16a$

$a \ge -\frac{25}{16}$

С учетом условия $a > 3$, которое является более строгим, система не имеет решений при всех $a > 3$.

Случай 3: $3 - a = 0$, то есть $a = 3$.

Подставим $a = 3$ в первое исходное неравенство:

$9x - 5(3) > 3(3)x + 2$

$9x - 15 > 9x + 2$

$-15 > 2$

Получено неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что при $a=3$ первое неравенство не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений.

Объединяя результаты всех трех случаев ($[-\frac{25}{16}, 3)$, $(3, +\infty)$ и $a=3$), получаем, что система не имеет решений при $a \ge -\frac{25}{16}$.

Ответ: при $a \in [-\frac{25}{16}; +\infty)$.

б)

Рассмотрим вторую систему неравенств и найдем значения $a$, при которых она не имеет решений.

Исходная система:

$ \begin{cases} 6x - 2a > 3ax + 13 \\ 4x + 4a < 2ax - 5 \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$6x - 3ax > 2a + 13$

$x(6 - 3a) > 2a + 13$

$3x(2 - a) > 2a + 13$

Преобразуем второе неравенство:

$4x - 2ax < -4a - 5$

$x(4 - 2a) < -(4a + 5)$

$2x(2 - a) < -(4a + 5)$

Решение системы зависит от знака выражения $2 - a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $2 - a > 0$, то есть $a < 2$.

Коэффициенты при $x$ положительны. Делим на них, сохраняя знаки неравенств:

$x > \frac{2a + 13}{3(2 - a)}$

$x < \frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)}$

Система не имеет решений, если нижняя граница для $x$ больше или равна верхней:

$\frac{2a + 13}{3(2 - a)} \ge \frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)}$

Умножим обе части на $6(2 - a) > 0$:

$2(2a + 13) \ge -3(4a + 5)$

$4a + 26 \ge -12a - 15$

$16a \ge -41$

$a \ge -\frac{41}{16}$

С учетом условия $a < 2$, система не имеет решений при $a \in [-\frac{41}{16}, 2)$.

Случай 2: $2 - a < 0$, то есть $a > 2$.

Коэффициенты при $x$ отрицательны. При делении на них меняем знаки неравенств:

$x < \frac{2a + 13}{3(2 - a)}$

$x > \frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)}$

Система не имеет решений, если нижняя граница для $x$ больше или равна верхней:

$\frac{-(4a + 5)}{2(2 - a)} \ge \frac{2a + 13}{3(2 - a)}$

Умножим обе части на $6(2 - a) < 0$, изменив знак неравенства:

$-3(4a + 5) \le 2(2a + 13)$

$-12a - 15 \le 4a + 26$

$-41 \le 16a$

$a \ge -\frac{41}{16}$

Учитывая условие $a > 2$ (которое является более сильным, так как $2 > -\frac{41}{16}$), система не имеет решений при всех $a > 2$.

Случай 3: $2 - a = 0$, то есть $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в первое исходное неравенство:

$6x - 2(2) > 3(2)x + 13$

$6x - 4 > 6x + 13$

$-4 > 13$

Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a=2$ система не имеет решений.

Объединяя результаты всех трех случаев ($[-\frac{41}{16}, 2)$, $(2, +\infty)$ и $a=2$), получаем, что система не имеет решений при $a \ge -\frac{41}{16}$.

Ответ: при $a \in [-\frac{41}{16}; +\infty)$.