Номер 9, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

9. a) Теплоход по течению реки от $A$ до $B$ идёт $a$ ч, а от $B$ до $A$ он идёт $b$ ч. Расстояние $AB$ равно $36$ км, скорость течения реки равна $3$ км/ч. Какому числовому промежутку принадлежат значения $b$, если $3 \leq a \leq 4$?

б) Теплоход по течению реки от $A$ до $B$ идёт $a$ ч, а от $B$ до $A$ он идёт $b$ ч. Расстояние $AB$ равно $48$ км, скорость течения реки равна $2$ км/ч. Какому числовому промежутку принадлежат значения $a$, если $4 \leq b \leq 6$?

а)

Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость теплохода (в км/ч). Скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч. Расстояние $S = 36$ км.

Скорость теплохода по течению (от А до В) равна $v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 3$. Время в пути по течению: $a = \frac{S}{v_{по\;теч}} = \frac{36}{v_{соб} + 3}$.

Скорость теплохода против течения (от В до А) равна $v_{пр\;теч} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 3$. Время в пути против течения: $b = \frac{S}{v_{пр\;теч}} = \frac{36}{v_{соб} - 3}$.

Наша задача — найти диапазон значений $b$, зная диапазон значений $a$. Для этого выразим $b$ через $a$. Из формулы для времени $a$ выразим $v_{соб}$: $v_{соб} + 3 = \frac{36}{a} \implies v_{соб} = \frac{36}{a} - 3$.

Подставим это выражение в формулу для времени $b$: $b = \frac{36}{(\frac{36}{a} - 3) - 3} = \frac{36}{\frac{36}{a} - 6} = \frac{36}{\frac{36 - 6a}{a}} = \frac{36a}{36 - 6a} = \frac{6a}{6 - a}$.

Мы получили зависимость $b(a) = \frac{6a}{6 - a}$. Чтобы найти диапазон значений $b$, исследуем эту функцию на промежутке $3 \le a \le 4$. Найдем производную функции $b(a)$: $b'(a) = \frac{(6a)'(6 - a) - 6a(6 - a)'}{(6 - a)^2} = \frac{6(6 - a) - 6a(-1)}{(6 - a)^2} = \frac{36 - 6a + 6a}{(6 - a)^2} = \frac{36}{(6 - a)^2}$. Поскольку производная $b'(a) > 0$ на всем промежутке, функция $b(a)$ является возрастающей. Это означает, что меньшему значению $a$ соответствует меньшее значение $b$, а большему — большее.

Найдем граничные значения $b$: Если $a = 3$, то $b = \frac{6 \cdot 3}{6 - 3} = \frac{18}{3} = 6$. Если $a = 4$, то $b = \frac{6 \cdot 4}{6 - 4} = \frac{24}{2} = 12$. Следовательно, при $3 \le a \le 4$ значения $b$ принадлежат промежутку $[6, 12]$.

Ответ: $b \in [6, 12]$.

б)

Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость теплохода (в км/ч). Скорость течения реки $v_{теч} = 2$ км/ч. Расстояние $S = 48$ км.

Скорость теплохода по течению (от А до В) равна $v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 2$. Время в пути по течению: $a = \frac{S}{v_{по\;теч}} = \frac{48}{v_{соб} + 2}$.

Скорость теплохода против течения (от В до А) равна $v_{пр\;теч} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 2$. Время в пути против течения: $b = \frac{S}{v_{пр\;теч}} = \frac{48}{v_{соб} - 2}$.

Наша задача — найти диапазон значений $a$, зная диапазон значений $b$. Для этого выразим $a$ через $b$. Из формулы для времени $b$ выразим $v_{соб}$: $v_{соб} - 2 = \frac{48}{b} \implies v_{соб} = \frac{48}{b} + 2$.

Подставим это выражение в формулу для времени $a$: $a = \frac{48}{(\frac{48}{b} + 2) + 2} = \frac{48}{\frac{48}{b} + 4} = \frac{48}{\frac{48 + 4b}{b}} = \frac{48b}{48 + 4b} = \frac{12b}{12 + b}$.

Мы получили зависимость $a(b) = \frac{12b}{12 + b}$. Чтобы найти диапазон значений $a$, исследуем эту функцию на промежутке $4 \le b \le 6$. Найдем производную функции $a(b)$: $a'(b) = \frac{(12b)'(12 + b) - 12b(12 + b)'}{(12 + b)^2} = \frac{12(12 + b) - 12b(1)}{(12 + b)^2} = \frac{144 + 12b - 12b}{(12 + b)^2} = \frac{144}{(12 + b)^2}$. Поскольку производная $a'(b) > 0$ на всем промежутке, функция $a(b)$ является возрастающей. Это означает, что меньшему значению $b$ соответствует меньшее значение $a$, а большему — большее.

Найдем граничные значения $a$: Если $b = 4$, то $a = \frac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3$. Если $b = 6$, то $a = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4$. Следовательно, при $4 \le b \le 6$ значения $a$ принадлежат промежутку $[3, 4]$.

Ответ: $a \in [3, 4]$.