Номер 12, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

12. Определите, сколько нулей в конце записи числа $100!!$.

Количество нулей в конце записи числа определяется количеством множителей 10 в его разложении на простые множители. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, нам нужно найти, сколько пар множителей (2 и 5) содержится в разложении числа $100!!$. Это число равно минимальному из показателей степеней 2 и 5 в разложении.

Двойной факториал числа 100, обозначаемый как $100!!$, представляет собой произведение всех чётных натуральных чисел от 2 до 100 включительно:

$100!! = 100 \cdot 98 \cdot 96 \cdot \dots \cdot 4 \cdot 2$

Сначала найдем показатель степени для множителя 5. Множитель 5 могут содержать только те числа в произведении, которые делятся на 5. Так как все числа в произведении чётные, нас интересуют числа, делящиеся одновременно на 2 и на 5, то есть на 10.

Выпишем эти числа из произведения и посчитаем количество пятёрок в их разложении:
$10 = 2 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$20 = 4 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$30 = 6 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$40 = 8 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$ (содержит две 5)
$60 = 12 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$70 = 14 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$80 = 16 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$90 = 18 \cdot 5$ (содержит одну 5)
$100 = 4 \cdot 25 = 4 \cdot 5^2$ (содержит две 5)

Суммарное количество множителей 5 равно: $1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 12$.

Теперь найдем показатель степени для множителя 2. Очевидно, что он будет значительно больше 12, так как каждый из 50 сомножителей в произведении $100!!$ является чётным. Для полноты решения приведем точный расчет. Представим $100!!$ в виде:

$100!! = (2 \cdot 50) \cdot (2 \cdot 49) \cdot \dots \cdot (2 \cdot 1) = 2^{50} \cdot 50!$

Количество множителей 2 в разложении числа 50! можно найти по формуле Лежандра:

$\lfloor \frac{50}{2} \rfloor + \lfloor \frac{50}{4} \rfloor + \lfloor \frac{50}{8} \rfloor + \lfloor \frac{50}{16} \rfloor + \lfloor \frac{50}{32} \rfloor = 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47$

Таким образом, общее количество множителей 2 в разложении $100!!$ равно $50 + 47 = 97$.

Количество нулей в конце числа определяется минимальным из показателей степеней 2 и 5. В нашем случае это $\min(97, 12) = 12$.

Ответ: 12