Номер 18, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

18. Если $n!! < n!!!$ и $n$ — натуральное число, $n > 4$, то $n$ — нечётное число.

18.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Утверждение гласит: "Если $n! < n!!!$ и $n$ — натуральное число, $n > 4$, то $n$ — нечётное число".

Предположим противное: пусть существует чётное натуральное число $n > 4$, для которого выполняется неравенство $n! < n!!!$. Мы покажем, что это предположение приводит к противоречию, доказав, что для любого чётного $n > 4$ на самом деле справедливо обратное неравенство: $n! \ge n!!!$.

Для этого рассмотрим отношение $\frac{n!}{n!!!}$ и покажем, что оно всегда больше 1 при $n > 4$.

По определению, $n!$ (факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

А $n!!!$ (тройной факториал) — это произведение натуральных чисел от $n$ с шагом -3:

$n!!! = n \cdot (n-3) \cdot (n-6) \cdot \dots \cdot k$, где $k$ — последний положительный член последовательности.

Запишем отношение этих двух величин:

$\frac{n!}{n!!!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n}{n \cdot (n-3) \cdot (n-6) \cdot \dots}$

Все множители в знаменателе ($n, n-3, n-6, \dots$) являются натуральными числами и также содержатся в произведении в числителе. После сокращения дроби на эти общие множители в числителе останется произведение некоторых натуральных чисел. Давайте выясним, какие именно числа всегда остаются в числителе после сокращения.

Рассмотрим множители $(n-1)$ и $(n-2)$ из числителя.

• Может ли множитель $(n-1)$ быть сокращен? Это возможно только в том случае, если он совпадает с одним из членов в знаменателе, то есть $n-1 = n - 3k$ для некоторого целого числа $k \ge 1$ (так как $n-1 \neq n$). Это уравнение упрощается до $3k = 1$, которое не имеет решений в целых числах. Следовательно, множитель $(n-1)$ никогда не сокращается.
• Может ли множитель $(n-2)$ быть сокращен? Аналогично, это возможно, если $n-2 = n - 3k$ для некоторого целого $k \ge 1$. Это уравнение дает $3k=2$, что также не имеет решений в целых числах. Следовательно, множитель $(n-2)$ также никогда не сокращается.

Таким образом, в произведении, которое получается после сокращения дроби $\frac{n!}{n!!!}$, всегда присутствуют множители $(n-1)$ и $(n-2)$.

По условию задачи $n > 4$, а значит $n-1 > 3$ и $n-2 > 2$. Оба эти множителя являются целыми числами, большими единицы.

Поскольку оставшееся после сокращения выражение является произведением натуральных чисел, среди которых есть $(n-1)$ и $(n-2)$, мы можем утверждать, что:

$\frac{n!}{n!!!} \ge (n-1)(n-2)$

Так как $n>4$, то $(n-1)(n-2) > (4-1)(4-2) = 3 \cdot 2 = 6$.

Отсюда следует, что $\frac{n!}{n!!!} > 1$, что равносильно неравенству $n! > n!!!$.

Мы получили, что для любого натурального числа $n > 4$ (включая все чётные числа) выполняется неравенство $n! > n!!!$. Это прямо противоречит нашему первоначальному предположению о том, что для некоторого чётного $n > 4$ может выполняться условие $n! < n!!!$.

Следовательно, наше предположение неверно. Не существует чётных чисел $n>4$, удовлетворяющих исходному неравенству. Это означает, что если такое число $n$ и существует, оно обязано быть нечётным.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого чётного числа $n > 4$ выполняется неравенство $n! > n!!!$, что противоречит условию $n! < n!!!$. Следовательно, если натуральное число $n > 4$ удовлетворяет условию $n! < n!!!$, оно обязано быть нечётным. (На самом деле, как было показано, условие $n! < n!!!$ не выполняется ни для какого $n>4$, поэтому утверждение является истинным).