Номер 16, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

16. Если $n$ — нечётное число больше 4, то $n!! < n!!!$.

16. Утверждение, представленное в задаче, является ложным. Чтобы это показать, достаточно привести один контрпример, удовлетворяющий условию, что $n$ — нечётное число больше 4.

Возьмем наименьшее возможное значение $n$, удовлетворяющее условию: $n=5$.

Согласно определению двойного факториала для нечетного числа:

$n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot \ldots \cdot 1$

Для $n=5$ получаем:

$5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$

Согласно определению тройного факториала:

$n!!! = n \cdot (n-3) \cdot (n-6) \cdot \ldots$ (до тех пор, пока множители положительны)

Для $n=5$ получаем:

$5!!! = 5 \cdot (5-3) = 5 \cdot 2 = 10$

Теперь сравним полученные значения:

$15 < 10$

Это неравенство неверно. Таким образом, мы нашли контрпример, который опровергает исходное утверждение.

Более того, можно доказать, что для всех нечетных чисел $n > 4$ справедливо обратное неравенство: $n!! > n!!!$.

Доказательство неравенства $n!! > n!!!$ для нечетных $n>4$:

Рассмотрим отношение $\frac{n!!}{n!!!}$. Наша цель — доказать, что это отношение больше 1.

$\frac{n!!}{n!!!} = \frac{n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot (n-6) \cdot \ldots}{n \cdot (n-3) \cdot (n-6) \cdot (n-9) \cdot \ldots}$

Так как $n>4$, мы можем сократить $n$. Также мы можем сократить общие для числителя и знаменателя множители вида $(n-6k)$, где $k$ — натуральное число.

После сокращения общих множителей в числителе останутся множители вида $(n-2m)$, где $m$ не делится на 3. В знаменателе останутся множители вида $(n-3j)$, где $j$ — нечетное число.

Отношение примет вид:

$\frac{(n-2)(n-4)(n-8)(n-10)\ldots}{(n-3)(n-9)(n-15)\ldots}$

Сгруппируем множители в числителе попарно и сопоставим каждой паре множитель из знаменателя:

$\frac{n!!}{n!!!} = \left(\frac{(n-2)(n-4)}{n-3}\right) \cdot \left(\frac{(n-8)(n-10)}{n-9}\right) \cdot \left(\frac{(n-14)(n-16)}{n-15}\right) \cdot \ldots$

Рассмотрим общий вид такого члена произведения: $\frac{(n-6k+4)(n-6k+2)}{n-6k+3}$ для $k=1, 2, 3, \ldots$.

Пусть $x = n-6k+3$. Тогда выражение можно переписать как:

$\frac{(x+1)(x-1)}{x} = \frac{x^2-1}{x} = x - \frac{1}{x}$

Мы должны показать, что каждый такой член произведения больше 1. То есть, $x - \frac{1}{x} > 1$.

Это неравенство равносильно $x^2 - 1 > x$, или $x^2 - x - 1 > 0$.

Корни уравнения $y^2 - y - 1 = 0$ равны $y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Неравенство $x^2 - x - 1 > 0$ выполняется, когда $x > \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ или $x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Множители $x = n-6k+3$ (это множители из знаменателя $n-3, n-9, \ldots$) являются положительными целыми числами. Самый маленький из них (при $n \ge 5$) — это $n-3 \ge 5-3=2$.

Поскольку все значения $x$ больше или равны 2, они удовлетворяют условию $x > 1.618$. Следовательно, каждый член вида $x - \frac{1}{x}$ в нашем произведении строго больше 1.

Число множителей в числителе после сокращения всегда как минимум вдвое превышает число множителей в знаменателе. Это позволяет сгруппировать их указанным образом. В некоторых случаях (когда $n \pmod 6 = 3$) в числителе остается один лишний множитель, но он равен 1. Таким образом, произведение всегда будет больше 1.

Следовательно, $\frac{n!!}{n!!!} > 1$, что доказывает $n!! > n!!!$ для всех нечетных $n > 4$.

Ответ: Исходное утверждение ложно.