Номер 17, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

17. Если $n!! > n!!!$ и n – натуральное число, $n > 4$, то n – чётное число.

Данное утверждение является ложным. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — то есть найти такое нечётное натуральное число $n > 4$, для которого неравенство $n!! > n!!!$ будет верным.

Рассмотрим число $n=5$.

Проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи:

• $n=5$ — натуральное число.
• $n=5 > 4$.
• Проверим истинность неравенства $n!! > n!!!$ для $n=5$.

Для этого вычислим значения двойного и тройного факториалов для $n=5$.

Двойной факториал $n!!$ — это произведение всех натуральных чисел от $n$ до 1, имеющих ту же чётность, что и $n$. Для нечётного $n=5$ имеем:

$5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$

Тройной факториал $n!!!$ — это произведение всех натуральных чисел вида $n-3k$, где $k \ge 0$, пока $n-3k > 0$. Для $n=5$ имеем:

$5!!! = 5 \cdot (5-3) = 5 \cdot 2 = 10$

Теперь сравним полученные значения:

$15 > 10$, следовательно, неравенство $5!! > 5!!!$ выполняется.

Таким образом, для $n=5$ мы имеем:

• $n=5$ — натуральное число.
• $n > 4$.
• $n!! > n!!!$ (так как $15 > 10$).

Все условия, указанные в предположении («если ...»), выполнены. Однако, заключение («то ...») не выполняется, поскольку число $n=5$ является нечётным.

Это означает, что мы нашли контрпример, который опровергает исходное утверждение. На самом деле, можно показать, что неравенство $n!! > n!!!$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 5$, как чётных, так и нечётных.

Ответ: Утверждение неверно. В качестве контрпримера можно привести $n=5$: это нечётное натуральное число, большее 4, для которого выполняется неравенство $5!! > 5!!!$ ($15 > 10$).