Номер 14, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите (14–18):

14. Если $n$ — натуральное число и $n > 4$, то $n!! \cdot n!!! = n!$.

14.

Утверждение, которое требуется доказать: если $n$ — натуральное число и $n > 4$, то $n!! \cdot n!!! = n!$.

Для начала разберемся с определениями используемых операций:

• $n!$ (факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.
• $n!!$ (двойной факториал) — произведение натуральных чисел от $n$ до 1, имеющих ту же четность, что и $n$.
  • Если $n$ четное, $n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot \dots \cdot 2$.
  • Если $n$ нечетное, $n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot \dots \cdot 1$.
• $n!!!$ (тройной факториал) — произведение натуральных чисел от $n$ до 1 с шагом 3: $n!!! = n \cdot (n-3) \cdot (n-6) \cdot \dots$ (до последнего положительного члена).

Проверим исходное утверждение на контрпримере. Возьмем наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 4$, то есть $n=5$.

Вычислим левую и правую части равенства для $n=5$:

• Правая часть: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
• Левая часть:
  • $5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$.
  • $5!!! = 5 \cdot (5-3) = 5 \cdot 2 = 10$.
  • Произведение: $5!! \cdot 5!!! = 15 \cdot 10 = 150$.

Сравниваем результаты: $150 \neq 120$. Следовательно, исходное утверждение $n!! \cdot n!!! = n!$ является неверным.

Можно также доказать неверность утверждения в общем виде. В произведении $n!! \cdot n!!!$ множитель $n$ встречается как в определении двойного факториала ($n \cdot (n-2) \cdot \dots$), так и в определении тройного факториала ($n \cdot (n-3) \cdot \dots$). Это означает, что левая часть равенства, $n!! \cdot n!!!$, всегда делится на $n^2$. Правая часть, $n! = n \cdot (n-1)!$, делится на $n^2$ только в том случае, если $(n-1)!$ делится на $n$. Однако, если $n$ — простое число (например, 5, 7, 11, ...), то по следствию из теоремы Вильсона (или просто потому, что все сомножители в $(n-1)!$ меньше $n$), $(n-1)!$ на $n$ не делится. Так как условие $n>4$ допускает простые числа, равенство не может выполняться для всех $n>4$.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее известное и верное тождество, связывающее факториалы, — это $n! = n!! \cdot (n-1)!!$. Докажем это исправленное тождество.

Доказательство тождества $n! = n!! \cdot (n-1)!!$

Факториал $n!$ по определению является произведением всех натуральных чисел от 1 до $n$. Мы можем сгруппировать эти числа на четные и нечетные. $n! = (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots)$. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.
Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда произведение всех четных чисел, не превосходящих $n$, это $2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2k$. По определению это $n!!$. Произведение всех нечетных чисел, не превосходящих $n$, это $1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k-1)$. По определению это $(n-1)!!$. Перемножив эти две группы чисел, мы получим произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$: $n! = (2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2k) \cdot (1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k-1)) = n!! \cdot (n-1)!!$.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
Пусть $n = 2k+1$, где $k$ — натуральное число. Тогда произведение всех нечетных чисел, не превосходящих $n$, это $1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k+1)$. По определению это $n!!$. Произведение всех четных чисел, не превосходящих $n$, это $2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2k$. По определению это $(n-1)!!$. Перемножив эти две группы чисел, мы снова получим произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$: $n! = (1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k+1)) \cdot (2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2k) = n!! \cdot (n-1)!!$.

Поскольку тождество верно для любых четных и нечетных $n \ge 2$, оно верно и для всех натуральных чисел $n>4$.

Ответ: Исходное утверждение $n!! \cdot n!!! = n!$ неверно, что показано на контрпримере $n=5$, где $5!! \cdot 5!!! = 150$, а $5! = 120$. Вероятной опечаткой в условии является тождество $n! = n!! \cdot (n-1)!!$, доказательство которого приведено выше.