Номер 8, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

8. Из пункта $A$ в пункт $B$ по течению реки надо отбуксировать два плота с помощью катера, собственная скорость которого $20 \text{ км/ч}$. Катер может буксировать только один плот. Предложите способ буксировки, при котором оба плота будут переправлены из пункта $A$ в пункт $B$ за наименьшее время, если скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$, а расстояние $AB$ равно $58 \text{ км}$. Найдите наименьшее время буксировки плотов.

Способ буксировки, при котором оба плота будут переправлены за наименьшее время

Чтобы общее время переправки было минимальным, необходимо, чтобы оба плота прибыли в пункт B одновременно. Оптимальная стратегия для этого выглядит следующим образом:

1. Катер начинает буксировать первый плот (Плот 1) из пункта А по течению реки. Одновременно с этим второй плот (Плот 2) отправляется в свободное плавание по течению из того же пункта А.
2. Пройдя определенное расстояние, катер оставляет Плот 1 в некоторой промежуточной точке C. После этого Плот 1 продолжает двигаться к пункту B самостоятельно, со скоростью течения.
3. Катер, оставив Плот 1, немедленно разворачивается и плывет против течения навстречу Плоту 2.
4. Встретив Плот 2 в точке D, катер берет его на буксир и доставляет в пункт B.
5. Время и место, где катер оставляет первый плот, должны быть рассчитаны так, чтобы в итоге оба плота прибыли в пункт B в один и тот же момент. Это время и будет наименьшим.

Наименьшее время буксировки плотов

Для расчета введем следующие обозначения:
$v_k = 20$ км/ч — собственная скорость катера.
$v_r = 3$ км/ч — скорость течения реки.
$S = 58$ км — расстояние от А до B.

Рассчитаем скорости движения:
Скорость катера по течению (с плотом или без): $v_{по} = v_k + v_r = 20 + 3 = 23$ км/ч.
Скорость катера против течения: $v_{пр} = v_k - v_r = 20 - 3 = 17$ км/ч.
Скорость плота (равна скорости течения): $v_{пл} = v_r = 3$ км/ч.

Пусть $T$ — искомое наименьшее общее время, а $t_1$ — время, в течение которого катер буксировал первый плот.

Рассмотрим движение первого плота. Он $t_1$ часов двигался с катером со скоростью $v_{по}$, а оставшееся время $(T - t_1)$ часов плыл самостоятельно со скоростью $v_{пл}$. Весь путь равен $S$:
$S = v_{по} \cdot t_1 + v_{пл} \cdot (T - t_1)$
$58 = 23 \cdot t_1 + 3 \cdot (T - t_1)$
$58 = 23t_1 + 3T - 3t_1$
$58 = 20t_1 + 3T$ (Уравнение 1)

Теперь рассмотрим движение второго плота. Он плыл самостоятельно, пока его не встретил возвращающийся катер. Найдем время $t_{встр}$ этой встречи. В момент $t_1$ катер находится на расстоянии $23t_1$ от А и разворачивается. Второй плот в этот же момент находится на расстоянии $3t_1$ от А. Расстояние между ними — $23t_1 - 3t_1 = 20t_1$. Скорость их сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v_{пр} + v_{пл} = 17 + 3 = 20$ км/ч. Время до встречи $t_2 = \frac{20t_1}{20} = t_1$. Таким образом, встреча катера и второго плота произойдет в момент времени $t_{встр} = t_1 + t_2 = 2t_1$.

Второй плот до момента встречи $2t_1$ плыл со скоростью $v_{пл}$, а оставшееся время $(T - 2t_1)$ его буксировал катер со скоростью $v_{по}$. Весь путь также равен $S$:
$S = v_{пл} \cdot (2t_1) + v_{по} \cdot (T - 2t_1)$
$58 = 3 \cdot (2t_1) + 23 \cdot (T - 2t_1)$
$58 = 6t_1 + 23T - 46t_1$
$58 = 23T - 40t_1$ (Уравнение 2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с неизвестными $T$ и $t_1$:
$\begin{cases} 58 = 20t_1 + 3T \\ 58 = -40t_1 + 23T \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от $t_1$:
$116 = 40t_1 + 6T$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$116 + 58 = (40t_1 + 6T) + (-40t_1 + 23T)$
$174 = 29T$
$T = \frac{174}{29} = 6$

Таким образом, наименьшее время, за которое можно переправить оба плота, составляет 6 часов.

Ответ: 6 часов.