Номер 2, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

2. Найдите наименьшее значение суммы $x^2 + y^2$, если $(x; y)$ – решение системы уравнений

$\begin{cases} x - 3y = a, \\ 3x - y = a + 2. \end{cases}$ При каком значении $a$ достигается это наименьшее значение?

Для решения задачи сначала необходимо выразить переменные $x$ и $y$ через параметр $a$ из данной системы линейных уравнений:

$\begin{cases}x - 3y = a \\3x - y = a + 2\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = a + 3y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(a + 3y) - y = a + 2$

$3a + 9y - y = a + 2$

$8y = 2 - 2a$

$y = \frac{2 - 2a}{8} = \frac{1 - a}{4}$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ обратно в выражение для $x$:

$x = a + 3y = a + 3\left(\frac{1 - a}{4}\right) = \frac{4a + 3(1 - a)}{4} = \frac{4a + 3 - 3a}{4} = \frac{a + 3}{4}$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = \frac{a+3}{4}$ и $y = \frac{1-a}{4}$.

Далее найдем выражение для суммы $x^2 + y^2$. Обозначим эту сумму как функцию $S(a)$:

$S(a) = x^2 + y^2 = \left(\frac{a+3}{4}\right)^2 + \left(\frac{1-a}{4}\right)^2$

$S(a) = \frac{(a+3)^2 + (1-a)^2}{16} = \frac{(a^2 + 6a + 9) + (1 - 2a + a^2)}{16}$

$S(a) = \frac{2a^2 + 4a + 10}{16} = \frac{a^2 + 2a + 5}{8}$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = \frac{1}{8}a^2 + \frac{1}{4}a + \frac{5}{8}$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $a^2$ положителен $(\frac{1}{8} > 0)$. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата вершины параболы $f(t) = At^2 + Bt + C$ находится по формуле $t_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A=\frac{1}{8}$ и $B=\frac{1}{4}$.

Найдем значение $a$, при котором достигается минимум:

$a_0 = -\frac{1/4}{2 \cdot (1/8)} = -\frac{1/4}{1/4} = -1$

Теперь мы можем ответить на оба вопроса задачи.

Найдите наименьшее значение суммы $x^2 + y^2$

Для нахождения наименьшего значения подставим $a = -1$ в выражение для суммы $S(a)$:

$S_{min} = S(-1) = \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 5}{8} = \frac{1 - 2 + 5}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение суммы $x^2 + y^2$ равно $\frac{1}{2}$.

При каком значении $a$ достигается это наименьшее значение?

Как было найдено при исследовании функции $S(a)$, её наименьшее значение достигается в вершине параболы, что соответствует значению $a = -1$.

Ответ: наименьшее значение достигается при $a = -1$.