Номер 3, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

3. Найдите все значения $a$, для каждого из которых неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a > 0$ не имеет решений.

Неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда противоположное неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a \le 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, исходное неравенство принимает вид:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 + 1)x + 0 > 0$

$-x > 0$

$x < 0$

В этом случае неравенство имеет решения (все отрицательные числа), что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $a = 0$ не является решением.

Случай 2: $a \ne 0$

В этом случае мы имеем дело с квадратичной функцией $f(x) = ax^2 - (2a + 1)x + a$. Графиком этой функции является парабола.

Неравенство $ax^2 - (2a + 1)x + a > 0$ не будет иметь решений, если график параболы полностью лежит ниже оси абсцисс или касается ее в одной точке, то есть $f(x) \le 0$ для всех $x$.

Это возможно только при выполнении двух условий одновременно:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным: $a < 0$.

2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью абсцисс. Это означает, что дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше либо равен нулю: $D \le 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot a = (2a + 1)^2 - 4a^2 = (4a^2 + 4a + 1) - 4a^2 = 4a + 1$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:

$4a + 1 \le 0$

$4a \le -1$

$a \le -1/4$

Объединим оба условия для этого случая в систему:

$\begin{cases} a < 0 \\ a \le -1/4 \end{cases}$

Решением этой системы является $a \le -1/4$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное неравенство не имеет решений при $a \le -1/4$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1/4]$.