Номер 4, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

4. При каких значениях $a$ система неравенств:

а) $\begin{cases} 4x - 4a > 2ax - 5, \\ 6x - 2a < 3ax + 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 9x - 2a > 3ax - 1, \\ 6x - 3a < 2ax + 2 \end{cases}$

имеет решения?

а)

Заданная система неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 4a > 2ax - 5 \\ 6x - 2a < 3ax + 5 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, сгруппировав члены с переменной $x$ в одной части, а остальные — в другой.

Из первого неравенства получаем:

$4x - 2ax > 4a - 5$

$x(4 - 2a) > 4a - 5$

Из второго неравенства получаем:

$6x - 3ax < 2a + 5$

$x(6 - 3a) < 2a + 5$

Решение системы зависит от знаков коэффициентов при $x$, то есть от выражений $4 - 2a$ и $6 - 3a$. Оба выражения обращаются в ноль при $a = 2$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a = 2$.

При $a = 2$ система принимает вид:

$ \begin{cases} x(4 - 4) > 4(2) - 5 \\ x(6 - 6) < 2(2) + 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot x > 3 \\ 0 \cdot x < 9 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 > 3 & \text{(неверно)} \\ 0 < 9 & \text{(верно)} \end{cases} $

Так как первое неравенство не имеет решений, вся система при $a=2$ решений не имеет.

Случай 2: $a < 2$.

В этом случае $4 - 2a > 0$ и $6 - 3a > 0$. Знаки неравенств при делении на эти выражения сохраняются:

$ \begin{cases} x > \frac{4a - 5}{4 - 2a} \\ x < \frac{2a + 5}{6 - 3a} \end{cases} $

Система имеет решения, если интервал, задаваемый этими неравенствами, не является пустым. Это означает, что нижняя граница для $x$ должна быть меньше верхней:

$\frac{4a - 5}{4 - 2a} < \frac{2a + 5}{6 - 3a}$

Упростим знаменатели: $\frac{4a - 5}{2(2 - a)} < \frac{2a + 5}{3(2 - a)}$.

Поскольку $a < 2$, то $2 - a > 0$. Умножим обе части неравенства на положительное число $6(2-a)$:

$3(4a - 5) < 2(2a + 5)$

$12a - 15 < 4a + 10$

$8a < 25$

$a < \frac{25}{8}$

Мы рассматриваем случай $a < 2$. Так как $2 = \frac{16}{8}$, то условие $a < 2$ автоматически удовлетворяет условию $a < \frac{25}{8}$. Следовательно, при всех $a < 2$ система имеет решения.

Случай 3: $a > 2$.

В этом случае $4 - 2a < 0$ и $6 - 3a < 0$. При делении на эти отрицательные выражения знаки неравенств меняются на противоположные:

$ \begin{cases} x < \frac{4a - 5}{4 - 2a} \\ x > \frac{2a + 5}{6 - 3a} \end{cases} $

Система имеет решения, если нижняя граница для $x$ меньше верхней:

$\frac{2a + 5}{6 - 3a} < \frac{4a - 5}{4 - 2a}$

$\frac{2a + 5}{-3(a - 2)} < \frac{4a - 5}{-2(a - 2)}$

Поскольку $a > 2$, то $a - 2 > 0$. Умножим обе части на отрицательное число $-6(a-2)$, изменив знак неравенства:

$2(2a + 5) > 3(4a - 5)$

$4a + 10 > 12a - 15$

$25 > 8a$

$a < \frac{25}{8}$

Учитывая исходное условие для этого случая ($a > 2$), получаем, что система имеет решения при $2 < a < \frac{25}{8}$.

Объединяя все полученные результаты, заключаем, что система имеет решения при $a \in (-\infty; 2) \cup (2; \frac{25}{8})$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; \frac{25}{8})$.

б)

Заданная система неравенств:

$ \begin{cases} 9x - 2a > 3ax - 1 \\ 6x - 3a < 2ax + 2 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $x$.

Первое неравенство:

$9x - 3ax > 2a - 1$

$x(9 - 3a) > 2a - 1$

Второе неравенство:

$6x - 2ax < 3a + 2$

$x(6 - 2a) < 3a + 2$

Решение системы зависит от знаков коэффициентов $9 - 3a$ и $6 - 2a$. Оба выражения обращаются в ноль при $a = 3$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a = 3$.

При $a = 3$ система принимает вид:

$ \begin{cases} x(9 - 9) > 2(3) - 1 \\ x(6 - 6) < 3(3) + 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot x > 5 \\ 0 \cdot x < 11 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 > 5 & \text{(неверно)} \\ 0 < 11 & \text{(верно)} \end{cases} $

Поскольку первое неравенство неверно, система при $a=3$ решений не имеет.

Случай 2: $a < 3$.

В этом случае $9 - 3a > 0$ и $6 - 2a > 0$. Знаки неравенств сохраняются:

$ \begin{cases} x > \frac{2a - 1}{9 - 3a} \\ x < \frac{3a + 2}{6 - 2a} \end{cases} $

Система имеет решения, если нижняя граница для $x$ меньше верхней:

$\frac{2a - 1}{9 - 3a} < \frac{3a + 2}{6 - 2a}$

$\frac{2a - 1}{3(3 - a)} < \frac{3a + 2}{2(3 - a)}$

Так как $a < 3$, то $3-a > 0$. Умножим обе части на $6(3-a) > 0$:

$2(2a - 1) < 3(3a + 2)$

$4a - 2 < 9a + 6$

$-8 < 5a$

$a > -\frac{8}{5}$

Совмещая с условием $a < 3$, получаем, что система имеет решения при $-\frac{8}{5} < a < 3$.

Случай 3: $a > 3$.

В этом случае $9 - 3a < 0$ и $6 - 2a < 0$. Знаки неравенств меняются на противоположные:

$ \begin{cases} x < \frac{2a - 1}{9 - 3a} \\ x > \frac{3a + 2}{6 - 2a} \end{cases} $

Система имеет решения, если нижняя граница для $x$ меньше верхней:

$\frac{3a + 2}{6 - 2a} < \frac{2a - 1}{9 - 3a}$

$\frac{3a + 2}{-2(a - 3)} < \frac{2a - 1}{-3(a - 3)}$

Так как $a > 3$, то $a - 3 > 0$. Умножим обе части на $-6(a-3) < 0$, изменив знак неравенства:

$3(3a + 2) > 2(2a - 1)$

$9a + 6 > 4a - 2$

$5a > -8$

$a > -\frac{8}{5}$

Условие $a > 3$ гарантирует выполнение условия $a > -8/5$. Таким образом, при всех $a > 3$ система имеет решения.

Объединяя результаты, получаем, что система имеет решения при $a \in (-\frac{8}{5}; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\frac{8}{5}; 3) \cup (3; +\infty)$.