Номер 6, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

6. В период бурного роста цен Сбербанк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депозитном вкладе в течение 12, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно. Какой доход можно было получить за год:

а) при двукратном вложении денег на 6 месяцев;

б) при четырёхкратном вложении денег на 3 месяца?

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов, так как доход, полученный за один период, прибавляется к основной сумме и в следующем периоде на него также начисляются проценты (реинвестирование).

Общая формула для расчета итоговой суммы $S$ при вложении первоначальной суммы $P$ на $n$ периодов с процентной ставкой $i$ за один период:

$S = P \cdot (1 + i)^n$

Доход при этом составит $S - P$.

а) при двукратном вложении денег на 6 месяцев

По условию, для вклада на 6 месяцев установлена ставка $130\%$ годовых. Поскольку в году два периода по 6 месяцев, то ставка за один 6-месячный период составит половину от годовой:

$i = \frac{130\%}{2} = 65\% = 0.65$

Деньги вкладываются дважды, то есть количество периодов начисления $n=2$. Пусть начальная сумма равна $P$. Тогда через год (два периода по 6 месяцев) сумма на счете составит:

$S = P \cdot (1 + 0.65)^2 = P \cdot 1.65^2 = P \cdot 2.7225$

Доход за год равен разнице между конечной и начальной суммой:

Доход $= S - P = 2.7225 \cdot P - P = 1.7225 \cdot P$

Чтобы выразить доход в процентах от первоначальной суммы, умножим полученный коэффициент на 100%:

$1.7225 \cdot 100\% = 172.25\%$

Ответ: 172,25%.

б) при четырёхкратном вложении денег на 3 месяца

Для вклада на 3 месяца установлена ставка $120\%$ годовых. В году четыре периода по 3 месяца ($12 / 3 = 4$), поэтому ставка за один 3-месячный период составит четверть от годовой:

$i = \frac{120\%}{4} = 30\% = 0.30$

Деньги вкладываются четыре раза, то есть количество периодов начисления $n=4$. Пусть начальная сумма равна $P$. Тогда через год (четыре периода по 3 месяца) сумма на счете составит:

$S = P \cdot (1 + 0.30)^4 = P \cdot 1.3^4$

Вычислим $1.3^4$:

$1.3^2 = 1.69$

$1.3^4 = (1.3^2)^2 = 1.69^2 = 2.8561$

Итак, итоговая сумма $S = P \cdot 2.8561$.

Доход за год равен:

Доход $= S - P = 2.8561 \cdot P - P = 1.8561 \cdot P$

Выразим доход в процентах от первоначальной суммы:

$1.8561 \cdot 100\% = 185.61\%$

Ответ: 185,61%.