Номер 36, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

36. 1) Решите уравнение $|1 + 3x| - |x - 1| = 2 - x$.

2) Упростите выражение $\frac{6x^2 + x - 7}{13x - 10x^2 - 3}$ и определите, какие значения оно может принимать.

3) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{2}$, а седьмой равен $\sqrt{128}$. Найдите восьмой член прогрессии.

4) Решите уравнение $\frac{6}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{24}{(x - 2)(x + 4)} = 1$.

1) Для решения уравнения $|1 + 3x| - |x - 1| = 2 - x$ воспользуемся методом интервалов.
Найдем нули подмодульных выражений:
$1 + 3x = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{3})$, $[-\frac{1}{3}; 1)$ и $[1; +\infty)$.
Рассмотрим уравнение на каждом из этих интервалов.

Случай 1: $x < -\frac{1}{3}$.
На этом интервале $1+3x < 0$ и $x-1 < 0$. Следовательно, $|1+3x| = -(1+3x)$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$-(1 + 3x) - (-(x - 1)) = 2 - x$
$-1 - 3x + x - 1 = 2 - x$
$-2 - 2x = 2 - x$
$-x = 4$
$x = -4$
Значение $x = -4$ принадлежит интервалу $(-\infty; -\frac{1}{3})$, значит, является корнем уравнения.

Случай 2: $-\frac{1}{3} \le x < 1$.
На этом интервале $1+3x \ge 0$ и $x-1 < 0$. Следовательно, $|1+3x| = 1+3x$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$(1 + 3x) - (-(x - 1)) = 2 - x$
$1 + 3x + x - 1 = 2 - x$
$4x = 2 - x$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Значение $x = \frac{2}{5}$ (или $0.4$) принадлежит интервалу $[-\frac{1}{3}; 1)$, значит, является корнем уравнения.

Случай 3: $x \ge 1$.
На этом интервале $1+3x > 0$ и $x-1 \ge 0$. Следовательно, $|1+3x| = 1+3x$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(1 + 3x) - (x - 1) = 2 - x$
$1 + 3x - x + 1 = 2 - x$
$2 + 2x = 2 - x$
$3x = 0$
$x = 0$
Значение $x = 0$ не принадлежит интервалу $[1; +\infty)$, значит, не является корнем.

Объединяя решения из всех случаев, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = \frac{2}{5}$.

2) Сначала упростим выражение $\frac{6x^2 + x - 7}{13x - 10x^2 - 3}$.
Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $6x^2 + x - 7$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6}$
$x_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$
Таким образом, $6x^2 + x - 7 = 6(x - 1)(x + \frac{7}{6}) = (x - 1)(6x + 7)$.

Знаменатель: $13x - 10x^2 - 3 = -(10x^2 - 13x + 3)$.
Найдем корни уравнения $10x^2 - 13x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{13 - 7}{2 \cdot 10} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
$x_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1$
Таким образом, $13x - 10x^2 - 3 = -10(x - 1)(x - \frac{3}{10}) = -(x - 1)(10x - 3) = (x - 1)(3 - 10x)$.

Теперь подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(x-1)(6x+7)}{(x-1)(3-10x)}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-1)(3-10x) \ne 0$, откуда $x \ne 1$ и $x \ne \frac{3}{10}$.
При $x \ne 1$ можно сократить дробь на $(x - 1)$.
Упрощенное выражение: $y = \frac{6x+7}{3-10x}$.

Теперь определим, какие значения может принимать это выражение.
Данная функция является дробно-линейной. Множество ее значений - все действительные числа, за исключением значения, которое она принимает в точке горизонтальной асимптоты. Горизонтальная асимптота $y = \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5}$. Это значение функция никогда не примет.
Кроме того, из-за сокращения на $(x-1)$, в графике функции есть "выколотая" точка при $x=1$. Найдем значение $y$ в этой точке:
$y(1) = \frac{6(1)+7}{3-10(1)} = \frac{13}{-7} = -\frac{13}{7}$.
Это значение также не может быть принято выражением.
Другое ограничение $x \ne \frac{3}{10}$ соответствует вертикальной асимптоте, где функция уходит в бесконечность, поэтому никаких других ограничений на значения $y$ это не накладывает.
Таким образом, выражение может принимать любые значения, кроме $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{13}{7}$.
Ответ: Упрощенное выражение: $\frac{6x+7}{3-10x}$. Выражение может принимать любые действительные значения, кроме $-\frac{13}{7}$ и $-\frac{3}{5}$, то есть $y \in (-\infty; -\frac{13}{7}) \cup (-\frac{13}{7}; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5}; +\infty)$.

3) Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$, а знаменатель прогрессии как $q$.
По условию, первый член $b_1 = \sqrt{2}$, а седьмой член $b_7 = \sqrt{128}$.
Упростим $b_7$: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для седьмого члена: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$.
Подставим известные значения:
$8\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^6$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$q^6 = 8$
Отсюда $q^2 = \sqrt[3]{8} = 2$, значит $q = \pm\sqrt{2}$.
Нам нужно найти восьмой член прогрессии, $b_8$.
$b_8 = b_7 \cdot q$.
Так как возможны два значения для $q$, рассмотрим оба случая:
1) Если $q = \sqrt{2}$, то $b_8 = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$.
2) Если $q = -\sqrt{2}$, то $b_8 = 8\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -8 \cdot 2 = -16$.
Оба варианта удовлетворяют условию задачи.
Ответ: $16$ или $-16$.

4) Решим уравнение $\frac{6}{(x-1)(x+3)} - \frac{24}{(x-2)(x+4)} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1, x \ne -3, x \ne 2, x \ne -4$.
Раскроем скобки в знаменателях:
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
$(x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$
Уравнение принимает вид:
$\frac{6}{x^2 + 2x - 3} - \frac{24}{x^2 + 2x - 8} = 1$
Заметим, что в обоих знаменателях есть одинаковое выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену: $y = x^2 + 2x$.
Уравнение с новой переменной:
$\frac{6}{y - 3} - \frac{24}{y - 8} = 1$
Приведем к общему знаменателю $(y-3)(y-8)$, при условии $y \ne 3$ и $y \ne 8$.
$6(y-8) - 24(y-3) = (y-3)(y-8)$
$6y - 48 - 24y + 72 = y^2 - 8y - 3y + 24$
$-18y + 24 = y^2 - 11y + 24$
$0 = y^2 - 11y + 18y$
$y^2 + 7y = 0$
$y(y+7) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = -7$. Оба значения не равны 3 и 8.
Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 0$.
$x^2 + 2x = 0$
$x(x+2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -7$.
$x^2 + 2x = -7$
$x^2 + 2x + 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.