Номер 32, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

32. 1) Найдите значение выражения $a^2 - 6\sqrt{5}a - 1$ при $a = \sqrt{5} + 4$.

2) Решите уравнение $\frac{1}{2 - x} - 1 = \frac{1}{x - 2} - \frac{6 - x}{3x^2 - 12}$

3) На турбазе имеются палатки и домики, всего их 25. В каждом домике живет 4 человека, а в палатке — 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?

4) С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} y = x^3, \\ xy = 4. \end{cases}$

1)

Чтобы найти значение выражения $a^2 - 6\sqrt{5}a - 1$, подставим в него значение $a = \sqrt{5} + 4$.

Получим: $(\sqrt{5} + 4)^2 - 6\sqrt{5}(\sqrt{5} + 4) - 1$.

Раскроем скобки пошагово:

1. Возведем в квадрат первую скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(\sqrt{5} + 4)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 4 + 4^2 = 5 + 8\sqrt{5} + 16 = 21 + 8\sqrt{5}$.

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-6\sqrt{5}$ на каждый член внутри нее:
$-6\sqrt{5}(\sqrt{5} + 4) = -6\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 6\sqrt{5} \cdot 4 = -6 \cdot 5 - 24\sqrt{5} = -30 - 24\sqrt{5}$.

3. Теперь соберем все части выражения вместе и приведем подобные слагаемые:
$(21 + 8\sqrt{5}) + (-30 - 24\sqrt{5}) - 1 = 21 + 8\sqrt{5} - 30 - 24\sqrt{5} - 1$.
Сгруппируем целые числа и слагаемые с корнем:
$(21 - 30 - 1) + (8\sqrt{5} - 24\sqrt{5}) = -10 - 16\sqrt{5}$.

Ответ: $-10 - 16\sqrt{5}$.

2)

Дано уравнение: $\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$
• $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
• $3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$, поэтому $\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$. Также разложим знаменатель $3x^2-12$ на множители: $3(x-2)(x+2)$.

Перепишем уравнение: $-\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$.

Перенесем все дроби в левую часть, а число -1 в правую: $-\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-2} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

$-\frac{2}{x-2} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$: $\frac{-2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

$\frac{-6(x+2) + (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

$\frac{-6x - 12 + 6 - x}{3(x^2-4)} = 1$.

$\frac{-7x - 6}{3x^2 - 12} = 1$.

Умножим обе части на знаменатель (так как мы учли ОДЗ, это равносильный переход): $-7x - 6 = 3x^2 - 12$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $3x^2 + 7x - 12 + 6 = 0$.

$3x^2 + 7x - 6 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.

Оба корня ($x_1 = 2/3$ и $x_2 = -3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

3)

Пусть $x$ — количество палаток на турбазе, а $y$ — количество домиков.

По условию, всего палаток и домиков 25. Это дает нам первое уравнение: $x + y = 25$.

В каждой палатке живут 2 человека, значит, в $x$ палатках живут $2x$ человек. В каждом домике живут 4 человека, значит, в $y$ домиках живут $4y$ человек. Всего на турбазе отдыхают 70 человек. Это дает нам второе уравнение: $2x + 4y = 70$.

Получаем систему из двух линейных уравнений: $\begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + 4y = 70 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 25 - y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $2(25 - y) + 4y = 70$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$: $50 - 2y + 4y = 70$. $2y = 70 - 50$. $2y = 20$. $y = 10$.

Итак, на турбазе 10 домиков. Теперь найдем количество палаток, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $x = 25 - 10 = 15$.

На турбазе 15 палаток.

Проверка: $15 + 10 = 25$ (всего мест проживания). $2 \cdot 15 + 4 \cdot 10 = 30 + 40 = 70$ (всего человек). Все верно.

Ответ: 15 палаток и 10 домиков.

4)

Чтобы определить, сколько решений имеет система уравнений, нужно построить графики функций, входящих в систему, и найти количество точек их пересечения. $\begin{cases} y = x^3 \\ xy = 4 \end{cases}$

Систему можно переписать в виде: $\begin{cases} y = x^3 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$

Рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. $y = x^3$ — это кубическая парабола. График проходит через начало координат (0;0), точку (1;1) и (-1;-1), (2;8) и (-2;-8). Функция возрастает на всей числовой оси. График расположен в I и III координатных четвертях.

2. $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=4 > 0$. Оси координат являются асимптотами для этого графика. График проходит через точки (1;4), (2;2), (4;1), а также (-1;-4), (-2;-2), (-4;-1).

Теперь мысленно или на эскизе наложим графики друг на друга.

• В I координатной четверти ($x > 0$): График $y = x^3$ начинается в (0;0) и быстро растет. График $y = 4/x$ приходит из бесконечности сверху и убывает, приближаясь к оси X. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься только в одной точке. Мы можем найти эту точку: $x^3 = 4/x \implies x^4 = 4 \implies x = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$. Здесь есть одно решение.
• В III координатной четверти ($x < 0$): График $y = x^3$ приходит из минус бесконечности и растет, приближаясь к (0;0). График $y = 4/x$ также растет от минус бесконечности (при $x \to 0^-$) и приближается к оси X (при $x \to -\infty$). Их графики также пересекутся один раз. Решением будет $x = -\sqrt{2}$. Здесь есть второе решение.

Так как графики существуют только в I и III четвертях, других пересечений нет.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках. Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Ответ: 2 решения.