Номер 35, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

35. 1) Выполните указанные действия: $(\frac{1}{2}\sqrt{32} - \frac{1}{3}\sqrt{3} + 4\sqrt{15})\cdot\sqrt{12} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}.$

2) Бак объемом 1 м³ заполняется двумя насосами одновременно. Первый насос перекачивает за 1 ч на 1 м³ воды больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый насос в отдельности может наполнить бак, если первому насосу нужно для этого на 5 мин меньше, чем второму.

3) Упростите выражение $\frac{xy}{x+y}\cdot\left(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}\right)$, найдите значение этого выражения, если $x - y = 2,9.$

4) Решите систему уравнений

1) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{2}\sqrt{32} - \frac{1}{3}\sqrt{3} + 4\sqrt{15}) \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}}$.
Для того чтобы это выражение имело смысл в области действительных чисел, подкоренное выражение второго множителя должно быть неотрицательным.
Оценим значение выражения $12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}$.
Используем приблизительные значения корней: $\sqrt{6} \approx 2,45$ и $\sqrt{5} \approx 2,24$.
$12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} \approx 12 - 4 \cdot 2,45 - 24 \cdot 2,24 = 12 - 9,8 - 53,76 = 2,2 - 53,76 = -51,56$.
Докажем, что это значение отрицательно, без калькулятора.
Нам нужно сравнить $12$ и $4\sqrt{6} + 24\sqrt{5}$.
Мы знаем, что $2 < \sqrt{6}$ и $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, $4\sqrt{6} > 4 \cdot 2 = 8$.
И $24\sqrt{5} > 24 \cdot 2 = 48$.
Тогда $4\sqrt{6} + 24\sqrt{5} > 8 + 48 = 56$.
Так как $12 < 56$, то $12 - (4\sqrt{6} + 24\sqrt{5}) < 0$.
Поскольку выражение под знаком корня отрицательно ($12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} < 0$), квадратный корень из него не определен в множестве действительных чисел. Следовательно, все выражение не определено.
Ответ: Выражение не определено в области действительных чисел, так как подкоренное выражение $12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}$ отрицательно.

2) Пусть $p_1$ (м³/ч) – производительность первого насоса, а $p_2$ (м³/ч) – производительность второго насоса. Объем бака $V = 1$ м³.
По условию, первый насос перекачивает за 1 час на 1 м³ воды больше, чем второй, значит:
$p_1 = p_2 + 1$.
Время, за которое первый насос наполнит бак: $t_1 = \frac{V}{p_1} = \frac{1}{p_1}$.
Время, за которое второй насос наполнит бак: $t_2 = \frac{V}{p_2} = \frac{1}{p_2}$.
Первому насосу нужно на 5 минут меньше, чем второму. Переведем 5 минут в часы: $5 \text{ мин} = \frac{5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{12} \text{ ч}$.
Составим уравнение по времени: $t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$.
$\frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_1} = \frac{1}{12}$.
Подставим в это уравнение $p_1 = p_2 + 1$:
$\frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_2 + 1} = \frac{1}{12}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(p_2 + 1) - p_2}{p_2(p_2 + 1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{p_2^2 + p_2} = \frac{1}{12}$.
Отсюда получаем квадратное уравнение: $p_2^2 + p_2 = 12$, или $p_2^2 + p_2 - 12 = 0$.
Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $p_{2,1} = 3$ и $p_{2,2} = -4$.
Производительность не может быть отрицательной, поэтому $p_2 = 3$ м³/ч.
Тогда производительность первого насоса: $p_1 = p_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м³/ч.
Найдем время, за которое каждый насос наполнит бак:
Время для первого насоса: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{4}$ часа, что составляет $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ минут.
Время для второго насоса: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{3}$ часа, что составляет $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.
Проверка: $20 - 15 = 5$ минут. Условие выполняется.
Ответ: Первый насос может наполнить бак за 15 минут, а второй – за 20 минут.

3) Сначала упростим данное выражение: $\frac{xy}{x+y} \cdot (\frac{y}{x} - \frac{x}{y})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y - x \cdot x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{xy}{x+y} \cdot \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Сократим $xy$ в числителе и знаменателе (при условии $x \neq 0, y \neq 0$):
$\frac{y^2 - x^2}{x+y}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$.
Выражение примет вид:
$\frac{(y-x)(y+x)}{x+y}$.
Сократим на $(x+y)$ (при условии $x+y \neq 0$):
$y-x$.
Теперь найдем значение этого выражения, зная, что $x - y = 2,9$.
$y - x = -(x - y) = -2,9$.
Ответ: Упрощенное выражение равно $y-x$, его значение равно -2,9.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x-y} + x + 1 = 0 \\ \frac{x}{x-y} + 2 = 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x-y \neq 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $z = \frac{1}{x-y}$. Тогда $\frac{x}{x-y} = x \cdot \frac{1}{x-y} = xz$.
Система примет вид:
$\begin{cases} z + x + 1 = 0 \\ xz + 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = -z - 1$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(-z-1)z + 2 = 0$
$-z^2 - z + 2 = 0$
$z^2 + z - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $z$. По теореме Виета находим корни: $z_1 = 1$ и $z_2 = -2$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $z = 1$.
Найдем $x$: $x = -z - 1 = -1 - 1 = -2$.
Вернемся к замене: $z = \frac{1}{x-y}$.
$1 = \frac{1}{-2 - y}$
$-2 - y = 1$
$y = -3$.
Получили первую пару решений: $(-2; -3)$. Проверим ОДЗ: $x-y = -2 - (-3) = 1 \neq 0$.
Случай 2: $z = -2$.
Найдем $x$: $x = -z - 1 = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$.
Вернемся к замене: $z = \frac{1}{x-y}$.
$-2 = \frac{1}{1 - y}$
$-2(1-y) = 1$
$-2 + 2y = 1$
$2y = 3$
$y = \frac{3}{2}$ или $y = 1,5$.
Получили вторую пару решений: $(1; \frac{3}{2})$. Проверим ОДЗ: $x-y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0$.
Ответ: $(-2; -3)$, $(1; \frac{3}{2})$.