Номер 1, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение:

а) $ax^2 - (4a + 1)x + 9a = 0$;

б) $ax^2 + (3a - 1)x - 4a = 0$;

в) $ax^2 - (2a + 1)x + a = 0$;

г) $4ax^2 - 4x + a - 1 = 0$

имеет единственный корень; имеет два различных корня; не имеет корней.

Для решения задачи проанализируем каждое уравнение отдельно. Количество корней уравнения зависит от того, является ли оно линейным или квадратным. Это определяется значением параметра $a$.

Общий подход:

1. Рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. В этом случае уравнение становится линейным.

2. Рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Уравнение является квадратным, и количество его корней определяется знаком дискриминанта $D$.

• $D > 0$: два различных корня.
• $D = 0$: один корень (или два совпадающих).
• $D < 0$: нет действительных корней.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - (4a + 1)x + 9a = 0$.

1. При $a=0$ уравнение становится линейным: $-(4 \cdot 0 + 1)x + 9 \cdot 0 = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда $x=0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (-(4a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot (9a) = (4a+1)^2 - 36a^2 = 16a^2 + 8a + 1 - 36a^2 = -20a^2 + 8a + 1$.

Теперь исследуем знак дискриминанта. Найдем корни уравнения $-20a^2 + 8a + 1 = 0$:

$a = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-20)(1)}}{2(-20)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{-40} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{-40} = \frac{-8 \pm 12}{-40}$.

Корни: $a_1 = \frac{4}{-40} = -\frac{1}{10}$ и $a_2 = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$.

Так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-20$), ветви параболы $y(a) = -20a^2 + 8a + 1$ направлены вниз.

• Уравнение имеет единственный корень при $D=0$, то есть при $a = -\frac{1}{10}$ и $a = \frac{1}{2}$.
• Уравнение имеет два различных корня при $D>0$, то есть при $a \in (-\frac{1}{10}, \frac{1}{2})$. Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, интервал будет $a \in (-\frac{1}{10}, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$.
• Уравнение не имеет корней при $D<0$, то есть при $a < -\frac{1}{10}$ или $a > \frac{1}{2}$.

Объединяя результаты для $a=0$ и $a \neq 0$, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a \in \{-\frac{1}{10}, 0, \frac{1}{2}\}$;
имеет два различных корня при $a \in (-\frac{1}{10}, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$;
не имеет корней при $a \in (-\infty, -\frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Рассмотрим уравнение $ax^2 + (3a - 1)x - 4a = 0$.

1. При $a=0$ уравнение становится линейным: $(3 \cdot 0 - 1)x - 4 \cdot 0 = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда $x=0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (3a - 1)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4a) = 9a^2 - 6a + 1 + 16a^2 = 25a^2 - 6a + 1$.

Чтобы определить знак этого выражения, найдем дискриминант квадратного трехчлена $25a^2 - 6a + 1$ относительно переменной $a$:

$D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 36 - 100 = -64$.

Так как $D_a < 0$ и старший коэффициент $25 > 0$, трехчлен $25a^2 - 6a + 1$ всегда положителен. Следовательно, $D > 0$ для любого значения $a$.

Это означает, что при любом $a \neq 0$ исходное уравнение всегда имеет два различных корня.

Объединяя результаты, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a = 0$;
имеет два различных корня при $a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$;
значений $a$, при которых уравнение не имеет корней, не существует.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - (2a + 1)x + a = 0$.

1. При $a=0$ уравнение становится линейным: $-(2 \cdot 0 + 1)x + 0 = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда $x=0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot a = (2a+1)^2 - 4a^2 = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 = 4a + 1$.

Знак дискриминанта зависит от знака выражения $4a+1$.

• Уравнение имеет единственный корень при $D=0$, то есть при $4a+1=0$, откуда $a = -\frac{1}{4}$.
• Уравнение имеет два различных корня при $D>0$, то есть при $4a+1>0$, откуда $a > -\frac{1}{4}$. Учитывая условие $a \neq 0$, получаем $a \in (-\frac{1}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.
• Уравнение не имеет корней при $D<0$, то есть при $4a+1<0$, откуда $a < -\frac{1}{4}$.

Объединяя результаты для $a=0$ и $a \neq 0$, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a \in \{-\frac{1}{4}, 0\}$;
имеет два различных корня при $a \in (-\frac{1}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$;
не имеет корней при $a \in (-\infty, -\frac{1}{4})$.

Рассмотрим уравнение $4ax^2 - 4x + a - 1 = 0$.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $4a$. Он обращается в ноль при $a=0$. В этом случае уравнение становится линейным: $-4x - 1 = 0$, откуда $x = -\frac{1}{4}$. Уравнение имеет единственный корень.

2. При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Для удобства найдем четверть дискриминанта $D/4$ (его знак совпадает со знаком $D$):

$\frac{D}{4} = (-2)^2 - 4a(a-1) = 4 - 4a^2 + 4a = -4a^2 + 4a + 4$.

Исследуем знак этого выражения. Найдем корни уравнения $-4a^2 + 4a + 4 = 0$, что эквивалентно $a^2 - a - 1 = 0$:

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Корни: $a_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-4$), ветви параболы $y(a) = -4a^2 + 4a + 4$ направлены вниз.

• Уравнение имеет единственный корень при $D=0$, то есть при $a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
• Уравнение имеет два различных корня при $D>0$, то есть при $a \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$. Учитывая $a \neq 0$, получаем $a \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$.
• Уравнение не имеет корней при $D<0$, то есть при $a < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ или $a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Объединяя результаты для $a=0$ и $a \neq 0$, получаем:

Ответ:
имеет единственный корень при $a \in \{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$;
имеет два различных корня при $a \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$;
не имеет корней при $a \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.