Номер 34, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

34. 1) Вычислите, используя, где возможно, формулы сокращённого умножения:

$\frac{0,12^3 - 0,28^3}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28.$

2) В арифметической прогрессии $\frac{a_{133}}{a_5} = 17$. Найдите $\frac{a_{25}}{a_{47}}$.

3) Упростите выражение $\frac{xy}{x - y} \cdot \left(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}\right)$, найдите значение этого выражения, если $x + y = 1,7$.

4) Решите систему уравнений

$$\begin{cases} \frac{3x - 1}{y + 1} - \frac{3y - 1}{x + 1} = 2, \\ \frac{3y + 3}{3x - 1} + \frac{2x + 2}{3y - 1} = 1. \end{cases}$$

1) Для вычисления используем формулы сокращённого умножения. Пусть $a = 0,12$ и $b = 0,28$. Тогда выражение можно переписать как $\frac{a^3 - b^3}{0,16} - ab$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Вычислим разность $a - b = 0,12 - 0,28 = -0,16$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(0,12 - 0,28)(0,12^2 + 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2)}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28 = \frac{-0,16(0,12^2 + 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2)}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28$.
Сократив дробь на $0,16$, получим:
$-(0,12^2 + 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2) - 0,12 \cdot 0,28$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-0,12^2 - 0,12 \cdot 0,28 - 0,28^2 - 0,12 \cdot 0,28 = -0,12^2 - 2 \cdot 0,12 \cdot 0,28 - 0,28^2$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(0,12^2 + 2 \cdot 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$-(0,12 + 0,28)^2 = -(0,4)^2 = -0,16$.
Ответ: $-0,16$.

2) Член арифметической прогрессии $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$ находится по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Используем данное в условии соотношение:
$\frac{a_{133}}{a_5} = \frac{a_1 + (133-1)d}{a_1 + (5-1)d} = \frac{a_1 + 132d}{a_1 + 4d} = 17$.
Отсюда выразим $a_1$ через $d$ (при условии, что $a_5 \neq 0$):
$a_1 + 132d = 17(a_1 + 4d)$
$a_1 + 132d = 17a_1 + 68d$
$132d - 68d = 17a_1 - a_1$
$64d = 16a_1$
$a_1 = 4d$.
(Если $d=0$, то и $a_1=0$, тогда все члены прогрессии равны нулю, а $a_5=0$, что делает исходное выражение бессмысленным. Следовательно, $d \neq 0$).
Теперь найдем искомое отношение, подставив $a_1=4d$ в выражение для $\frac{a_{25}}{a_{47}}$:
$\frac{a_{25}}{a_{47}} = \frac{a_1 + (25-1)d}{a_1 + (47-1)d} = \frac{a_1 + 24d}{a_1 + 46d} = \frac{4d + 24d}{4d + 46d} = \frac{28d}{50d}$.
Так как $d \neq 0$, сокращаем на $d$:
$\frac{28}{50} = \frac{14}{25} = 0,56$.
Ответ: $0,56$.

3) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$ (при $x \neq 0, y \neq 0$):
$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{xy}{x-y} \cdot \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Сократим на $xy$ (при $x \neq y$):
$\frac{y^2 - x^2}{x-y}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{(y-x)(y+x)}{x-y}$.
Так как $y-x = -(x-y)$, мы можем сократить дробь:
$\frac{-(x-y)(y+x)}{x-y} = -(y+x) = -(x+y)$.
По условию $x+y=1,7$.
Следовательно, значение выражения равно $-(1,7) = -1,7$.
Ответ: $-1,7$.

4) Область допустимых значений (ОДЗ): $y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$; $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$; $3x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1/3$; $3y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1/3$.
Упростим второе уравнение системы: $\frac{3(y+1)}{3x-1} + \frac{2(x+1)}{3y-1} = 1$.
Введем замену переменных. Пусть $A = \frac{3x-1}{y+1}$ и $B = \frac{3y-1}{x+1}$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases} A - B = 2 \\ \frac{3}{A} + \frac{2}{B} = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения выражаем $A = B+2$ и подставляем во второе:
$\frac{3}{B+2} + \frac{2}{B} = 1$.
Приводим к общему знаменателю $B(B+2)$ (при $B \neq 0, B \neq -2$):
$3B + 2(B+2) = B(B+2)$
$5B + 4 = B^2 + 2B$
$B^2 - 3B - 4 = 0$.
Корни квадратного уравнения: $B_1 = 4$ и $B_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $A$:
Если $B_1 = 4$, то $A_1 = 4+2 = 6$.
Если $B_2 = -1$, то $A_2 = -1+2 = 1$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $A=6, B=4$.
$\begin{cases} \frac{3x-1}{y+1} = 6 \\ \frac{3y-1}{x+1} = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x-1 = 6y+6 \\ 3y-1 = 4x+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 6y = 7 \\ 4x - 3y = -5 \end{cases}$.
Умножим второе уравнение на $-2$: $ -8x + 6y = 10$. Сложим с первым уравнением: $(3x - 6y) + (-8x + 6y) = 7 + 10 \Rightarrow -5x = 17 \Rightarrow x = -\frac{17}{5}$.
Найдем $y$ из уравнения $3y = 4x+5$: $3y = 4(-\frac{17}{5}) + 5 = -\frac{68}{5} + \frac{25}{5} = -\frac{43}{5} \Rightarrow y = -\frac{43}{15}$.
Первое решение: $(-\frac{17}{5}; -\frac{43}{15})$.
Случай 2: $A=1, B=-1$.
$\begin{cases} \frac{3x-1}{y+1} = 1 \\ \frac{3y-1}{x+1} = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x-1 = y+1 \\ 3y-1 = -x-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3x-2 \\ 3y+x = 0 \end{cases}$.
Подставим $y$ из первого уравнения во второе: $3(3x-2) + x = 0 \Rightarrow 9x-6+x=0 \Rightarrow 10x=6 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$.
Найдем $y$: $y = 3x-2 = 3(\frac{3}{5}) - 2 = \frac{9}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{1}{5}$.
Второе решение: $(\frac{3}{5}; -\frac{1}{5})$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(-\frac{17}{5}; -\frac{43}{15})$, $(\frac{3}{5}; -\frac{1}{5})$.