Номер 27, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

27. 1) Найдите двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение этого числа на сумму его цифр равно 144.

2) Решите графически уравнение $x^2 - 4x = -3x + 6$.

3) Решите неравенство $\frac{(x - 5)(x + 7)}{x} < 0$.

4) Упростите выражение $\frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$ и найдите его значение при $a = \frac{1}{2}$.

1)

Пусть $x$ — цифра десятков искомого двузначного числа. Согласно условию, цифра единиц равна $x + 2$.

Двузначное число можно представить в виде $10x + (x + 2)$, что равно $11x + 2$.

Сумма цифр этого числа равна $x + (x + 2)$, что равно $2x + 2$.

По условию, произведение числа на сумму его цифр равно 144. Составим и решим уравнение:

$(11x + 2)(2x + 2) = 144$

$(11x + 2) \cdot 2(x + 1) = 144$

Разделим обе части уравнения на 2:

$(11x + 2)(x + 1) = 72$

Раскроем скобки:

$11x^2 + 11x + 2x + 2 = 72$

$11x^2 + 13x - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-70) = 169 + 3080 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 57}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 57}{2 \cdot 11} = \frac{-70}{22} = -\frac{35}{11}$

Так как $x$ — это цифра десятков, она должна быть целым числом от 1 до 9. Следовательно, подходит только корень $x_1 = 2$.

Если цифра десятков равна 2, то цифра единиц равна $2 + 2 = 4$.

Искомое число — 24.

Проверка: Сумма цифр числа 24 равна $2+4=6$. Произведение числа на сумму его цифр: $24 \cdot 6 = 144$. Условие выполняется.

Ответ: 24

2)

Для графического решения уравнения $x^2 - 4x = -3x + 6$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = x^2 - 4x$ и $y_2 = -3x + 6$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут решениями исходного уравнения.

1. Построим график функции $y_1 = x^2 - 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_v = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина находится в точке $(2, -4)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0$ и $x=4$.

2. Построим график функции $y_2 = -3x + 6$. Это прямая линия.
Для построения прямой достаточно двух точек:
Если $x=0$, то $y=6$. Точка $(0, 6)$.
Если $y=0$, то $-3x+6=0 \Rightarrow x=2$. Точка $(2, 0)$.

3. Построив графики на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем абсциссы этих точек.
Подставив предполагаемые значения $x$ в оба уравнения, убедимся, что значения $y$ совпадают.
При $x = -2$:
$y_1 = (-2)^2 - 4(-2) = 4 + 8 = 12$.
$y_2 = -3(-2) + 6 = 6 + 6 = 12$.
Следовательно, первая точка пересечения $(-2, 12)$.
При $x = 3$:
$y_1 = 3^2 - 4(3) = 9 - 12 = -3$.
$y_2 = -3(3) + 6 = -9 + 6 = -3$.
Следовательно, вторая точка пересечения $(3, -3)$.

Абсциссы точек пересечения графиков равны -2 и 3.

Ответ: -2; 3

3)

Для решения неравенства $\frac{(x-5)(x+7)}{x} < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нули числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$; $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.
Нуль знаменателя: $x=0$. (Эта точка всегда будет "выколотой", так как на ноль делить нельзя).

2. Отметим эти точки на числовой оси: -7, 0, 5. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{(x-5)(x+7)}{x}$ в каждом из интервалов, подставив любое значение из этого интервала.
Интервал $(5; \infty)$: пусть $x=6$. $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
Интервал $(0; 5)$: пусть $x=1$. $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
Интервал $(-7; 0)$: пусть $x=-1$. $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
Интервал $(-\infty; -7)$: пусть $x=-8$. $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

4. Согласно знаку неравенства ($<0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно. Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(0; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (0; 5)$

4)

Сначала упростим данное выражение $\frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$.

1. Упростим знаменатель, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7}$.

2. Теперь разделим числитель на полученный знаменатель, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9+7} = a^{-2}$.

3. Теперь подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$a^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \cdot 4 = 4$.

Ответ: 4