Номер 21, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

21. 1) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если $a_{11} + a_6 = 22, a_7 + a_5 = 16$.

2) Решите уравнение $(x^2 + 2x)^2 - 14(x^2 + 2x) - 15 = 0$.

3) Решите неравенство $\frac{x+2}{1-4x} < 2$.

4) Упростите выражение $\frac{9x^2 - 4}{2x^2 - 5x + 2} \cdot \frac{2 - x}{3x + 2} + \frac{x}{1 - 2x}$.

1)
Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Согласно условию, имеем два уравнения:
1) $a_{11} + a_6 = 22$
2) $a_7 + a_5 = 16$
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ и подставим в уравнения:
1) $(a_1 + (11-1)d) + (a_1 + (6-1)d) = (a_1 + 10d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 15d = 22$
2) $(a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (5-1)d) = (a_1 + 6d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 10d = 16$
Получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} 2a_1 + 15d = 22 \\ 2a_1 + 10d = 16 \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе:
$(2a_1 + 15d) - (2a_1 + 10d) = 22 - 16$
$5d = 6$
$d = \frac{6}{5} = 1.2$
Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение системы, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 10 \cdot (1.2) = 16$
$2a_1 + 12 = 16$
$2a_1 = 4$
$a_1 = 2$
Ответ: первый член $a_1 = 2$, разность $d = 1.2$.

2)
Дано уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - 14(x^2 + 2x) - 15 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно выражения $x^2+2x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 14t - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
$t_1 + t_2 = 14$
$t_1 \cdot t_2 = -15$
Подбором находим корни: $t_1 = 15$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
Случай 1: $t = 15$.
$x^2 + 2x = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.
Случай 2: $t = -1$.
$x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Это формула квадрата суммы: $(x+1)^2 = 0$.
Отсюда $x+1 = 0$, следовательно, $x_3 = -1$.
В результате мы получили три корня исходного уравнения.
Ответ: $-5; -1; 3$.

3)
Решим неравенство $\frac{x+2}{1-4x} < 2$.
Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{x+2}{1-4x} - 2 < 0$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x+2 - 2(1-4x)}{1-4x} < 0$
$\frac{x+2 - 2 + 8x}{1-4x} < 0$
$\frac{9x}{1-4x} < 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
Нуль числителя: $9x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Нуль знаменателя: $1-4x = 0 \Rightarrow x = 1/4$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми.
Определим знаки выражения $\frac{9x}{1-4x}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1/4)$ и $(1/4, +\infty)$.
- При $x \in (1/4, +\infty)$, например $x=1$: $\frac{9 \cdot 1}{1-4 \cdot 1} = \frac{9}{-3} = -3 < 0$. Этот интервал является решением.
- При $x \in (0, 1/4)$, например $x=0.1$: $\frac{9 \cdot 0.1}{1-4 \cdot 0.1} = \frac{0.9}{0.6} > 0$. Этот интервал не является решением.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $\frac{9 \cdot (-1)}{1-4 \cdot (-1)} = \frac{-9}{5} < 0$. Этот интервал является решением.
Объединяем интервалы, на которых выражение отрицательно.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (1/4; +\infty)$.

4)
Упростим выражение $\frac{9x^2-4}{2x^2-5x+2} \cdot \frac{2-x}{3x+2} + \frac{x}{1-2x}$.
Сначала выполним умножение. Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей.
$9x^2-4 = (3x-2)(3x+2)$ (разность квадратов).
$2x^2-5x+2$. Решим уравнение $2x^2-5x+2=0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$. Корни $x_1 = \frac{5+3}{4}=2$, $x_2 = \frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$. Тогда $2x^2-5x+2 = 2(x-2)(x-1/2) = (x-2)(2x-1)$.
$2-x = -(x-2)$.
Произведение примет вид:
$\frac{(3x-2)(3x+2)}{(x-2)(2x-1)} \cdot \frac{-(x-2)}{3x+2}$
Сократим общие множители $(x-2)$ и $(3x+2)$, при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq -2/3$.
$\frac{-(3x-2)}{2x-1} = \frac{2-3x}{2x-1}$
Теперь выполним сложение с оставшейся дробью:
$\frac{2-3x}{2x-1} + \frac{x}{1-2x}$
Знаменатель второй дроби $1-2x = -(2x-1)$.
$\frac{2-3x}{2x-1} + \frac{x}{-(2x-1)} = \frac{2-3x}{2x-1} - \frac{x}{2x-1}$
Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$\frac{2-3x-x}{2x-1} = \frac{2-4x}{2x-1}$
Вынесем в числителе $-2$ за скобки:
$\frac{-2(2x-1)}{2x-1}$
Сокращаем $(2x-1)$, при условии $x \neq 1/2$.
$-2$
Ответ: $-2$.