Номер 28, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

28. 1) Решите уравнение $ \frac{x^2 - 7x}{5} + \frac{x - 1}{3} = \frac{2x^2 - 5x - 3}{30} $

2) Решите неравенство $ \frac{2x - 3}{3x - 7} < 0 $

3) Решите уравнение $ x^2 + x^{-2} = 2 $

4) Сравните числа $ \sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}} $ и $ \sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}} $

1) Решите уравнение $\frac{x^2-7x}{5} + \frac{x-1}{3} = \frac{2x^2-5x-3}{30}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5, 3 и 30, которое равно 30.
$30 \cdot \frac{x^2-7x}{5} + 30 \cdot \frac{x-1}{3} = 30 \cdot \frac{2x^2-5x-3}{30}$
$6(x^2-7x) + 10(x-1) = 2x^2-5x-3$
Раскроем скобки:
$6x^2 - 42x + 10x - 10 = 2x^2 - 5x - 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$6x^2 - 32x - 10 = 2x^2 - 5x - 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 2x^2 - 32x + 5x - 10 + 3 = 0$
$4x^2 - 27x - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=4, b=-27, c=-7$
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$
$x_2 = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$
Ответ: $7; -0.25$.

2) Решите неравенство $\frac{2x-3}{3x-7} < 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$.
Нуль знаменателя: $3x - 7 = 0 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$.
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки будут "выколотыми". Заметим, что $1.5 < \frac{7}{3}$ (т.к. $1.5 = 3/2$).
Числовая ось разбивается на три интервала: $(-\infty; 1.5)$, $(1.5; \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}; +\infty)$.
Определим знак выражения $\frac{2x-3}{3x-7}$ в каждом интервале:
- При $x < 1.5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{3(0)-7} = \frac{-3}{-7} > 0$. Знак "+".
- При $1.5 < x < \frac{7}{3}$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{3(2)-7} = \frac{1}{-1} < 0$. Знак "-".
- При $x > \frac{7}{3}$ (например, $x=3$): $\frac{2(3)-3}{3(3)-7} = \frac{3}{2} > 0$. Знак "+".
Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "-".
Это интервал $(1.5; \frac{7}{3})$.
Ответ: $(1.5; \frac{7}{3})$.

3) Решите уравнение $x^2 + x^{-2} = 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
Перепишем уравнение: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $y > 0$.
Уравнение примет вид: $y + \frac{1}{y} = 2$.
Умножим обе части на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = 2y$
Перенесем все в левую часть:
$y^2 - 2y + 1 = 0$
Это формула квадрата разности: $(y-1)^2 = 0$.
Отсюда $y-1 = 0$, то есть $y=1$.
Это значение удовлетворяет условию $y > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$x^2 = y = 1$
Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $1; -1$.

4) Сравните числа $\sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}}$ и $\sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}$.
Обозначим первое число как $A = \sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}}$, а второе как $B = \sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}$.
Используем свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для положительных $a$ и $b$.
$A = \sqrt{\frac{17}{19} \cdot \frac{13}{23}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 13}{19 \cdot 23}}$
$B = \sqrt{\frac{17}{23} \cdot \frac{13}{19}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 13}{23 \cdot 19}}$
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется ($19 \cdot 23 = 23 \cdot 19$), выражения под корнем для $A$ и $B$ одинаковы.
Следовательно, $A = B$.
Другой способ - возвести оба числа в квадрат, так как они оба положительны.
$A^2 = \left(\sqrt{\frac{17}{19}} \cdot \sqrt{\frac{13}{23}}\right)^2 = \frac{17}{19} \cdot \frac{13}{23} = \frac{17 \cdot 13}{19 \cdot 23}$
$B^2 = \left(\sqrt{\frac{17}{23}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}\right)^2 = \frac{17}{23} \cdot \frac{13}{19} = \frac{17 \cdot 13}{23 \cdot 19}$
Так как $A^2 = B^2$ и $A > 0, B > 0$, то $A=B$.
Ответ: числа равны.