Номер 30, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

30. 1) Решите уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0.$

2) Решите неравенство $\frac{2x - 1}{x} > 0.$

3) Найдите значение выражения
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$
при $x = 2\frac{3}{17}.$

4) Решите графическим способом уравнение $x - 1 = \frac{6}{x}.$

1) Решите уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.

2) Решите неравенство $\frac{2x - 1}{x} > 0$.

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$.

2. Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми.

Получили три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{2x - 1}{x}$ в каждом интервале.

• При $x > 0.5$ (например, $x=1$): $\frac{2(1) - 1}{1} = 1 > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < 0.5$ (например, $x=0.1$): $\frac{2(0.1) - 1}{0.1} = \frac{-0.8}{0.1} = -8 < 0$. Знак "-".
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{2(-1) - 1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-\infty; 0)$ и $(0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty)$.

3) Найдите значение выражения $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ при $x = 2\frac{3}{17}$.

Сначала упростим выражение. Заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами:

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|x - 2| + |x - 3|$

Теперь подставим значение $x = 2\frac{3}{17}$ и раскроем модули.

Определим знак выражения $x - 2$: $2\frac{3}{17} - 2 = \frac{3}{17}$. Так как $\frac{3}{17} > 0$, то $|x - 2| = x - 2$.

Определим знак выражения $x - 3$: $2\frac{3}{17} - 3 = 2\frac{3}{17} - 2\frac{17}{17} = -\frac{14}{17}$. Так как $-\frac{14}{17} < 0$, то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.

Подставим раскрытые модули в упрощенное выражение:

$(x - 2) + (3 - x) = x - 2 + 3 - x = 1$

Ответ: 1.

4) Решите графическим способом уравнение $x - 1 = \frac{6}{x}$.

Для решения уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x - 1$ и $y = \frac{6}{x}$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями уравнения.

1. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:

• Если $x=0$, то $y = -1$. Точка (0, -1).
• Если $x=1$, то $y = 0$. Точка (1, 0).

2. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола. Область определения $x \neq 0$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• При $x > 0$: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
• При $x < 0$: (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1).

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.

Найдем координаты точек пересечения:

Первая точка пересечения находится в I четверти. Из построенных точек видно, что это точка с координатами (3, 2). Проверим: для прямой $y = 3 - 1 = 2$; для гиперболы $y = \frac{6}{3} = 2$. Координаты верны.

Вторая точка пересечения находится в III четверти. Это точка с координатами (-2, -3). Проверим: для прямой $y = -2 - 1 = -3$; для гиперболы $y = \frac{6}{-2} = -3$. Координаты верны.

Решениями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) этих точек.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.