Страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

29. 1) Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагается по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?

2) Решите уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

3) Решите неравенство $0,01(1 - 3x) < 0,02x + 3,01$.

4) Найдите область определения функции $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{10 - x}$.

1) Пусть $v$ км/ч — это скорость поезда по расписанию. Тогда его фактическая скорость на перегоне, где он нагонял опоздание, была $v + 10$ км/ч.
Время, за которое поезд должен был проехать 80 км по расписанию, составляет $t_1 = \frac{80}{v}$ часов.
Фактическое время, затраченное на этот перегон, составило $t_2 = \frac{80}{v+10}$ часов.
Задержка составила 16 минут. Чтобы использовать это значение в расчетах со скоростью в км/ч, переведем минуты в часы: $16 \text{ мин} = \frac{16}{60} \text{ ч} = \frac{4}{15} \text{ ч}$.
Разница между плановым и фактическим временем движения равна времени, которое поезд наверстал. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{4}{15}$
$\frac{80}{v} - \frac{80}{v+10} = \frac{4}{15}$
Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:
$\frac{20}{v} - \frac{20}{v+10} = \frac{1}{15}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:
$\frac{20(v+10) - 20v}{v(v+10)} = \frac{1}{15}$
$\frac{20v + 200 - 20v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{15}$
$\frac{200}{v^2 + 10v} = \frac{1}{15}$
Используя основное свойство пропорции, получаем:
$v^2 + 10v = 200 \cdot 15$
$v^2 + 10v = 3000$
$v^2 + 10v - 3000 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.
$v_2 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$. Этот корень нам подходит.
Следовательно, скорость поезда по расписанию равна 50 км/ч.
Ответ: 50 км/ч.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Оба значения для $t$ неотрицательны, поэтому они оба являются допустимыми решениями для промежуточного уравнения.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: -3; -1; 1; 3.

3) Решим линейное неравенство $0,01(1 - 3x) < 0,02x + 3,01$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части неравенства на 100. Знак неравенства при этом не изменится, так как 100 — положительное число.
$100 \cdot 0,01(1 - 3x) < 100 \cdot 0,02x + 100 \cdot 3,01$
$1 \cdot (1 - 3x) < 2x + 301$
$1 - 3x < 2x + 301$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой. Перенесем $-3x$ вправо, а 301 влево, изменив их знаки.
$1 - 301 < 2x + 3x$
$-300 < 5x$
Разделим обе части неравенства на 5. Знак неравенства не меняется.
$\frac{-300}{5} < x$
$-60 < x$
Это решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $(-60; +\infty)$.

4) Найдем область определения функции $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{10 - x}$.
Область определения функции — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение имеет смысл.
Функция содержит квадратные корни. Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Поэтому подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
Это приводит к системе из двух неравенств:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
2) $10 - x \ge 0 \implies 10 \ge x \implies x \le 10$
Областью определения функции будет пересечение решений этих двух неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 2$ и $x \le 10$.
Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство:
$2 \le x \le 10$
Это множество можно записать в виде числового отрезка.
Ответ: $[2; 10]$.

30. 1) Решите уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0.$

2) Решите неравенство $\frac{2x - 1}{x} > 0.$

3) Найдите значение выражения
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$
при $x = 2\frac{3}{17}.$

4) Решите графическим способом уравнение $x - 1 = \frac{6}{x}.$

1) Решите уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.

2) Решите неравенство $\frac{2x - 1}{x} > 0$.

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$.

2. Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми.

Получили три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{2x - 1}{x}$ в каждом интервале.

• При $x > 0.5$ (например, $x=1$): $\frac{2(1) - 1}{1} = 1 > 0$. Знак "+".
• При $0 < x < 0.5$ (например, $x=0.1$): $\frac{2(0.1) - 1}{0.1} = \frac{-0.8}{0.1} = -8 < 0$. Знак "-".
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{2(-1) - 1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-\infty; 0)$ и $(0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty)$.

3) Найдите значение выражения $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ при $x = 2\frac{3}{17}$.

Сначала упростим выражение. Заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами:

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|x - 2| + |x - 3|$

Теперь подставим значение $x = 2\frac{3}{17}$ и раскроем модули.

Определим знак выражения $x - 2$: $2\frac{3}{17} - 2 = \frac{3}{17}$. Так как $\frac{3}{17} > 0$, то $|x - 2| = x - 2$.

Определим знак выражения $x - 3$: $2\frac{3}{17} - 3 = 2\frac{3}{17} - 2\frac{17}{17} = -\frac{14}{17}$. Так как $-\frac{14}{17} < 0$, то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.

Подставим раскрытые модули в упрощенное выражение:

$(x - 2) + (3 - x) = x - 2 + 3 - x = 1$

Ответ: 1.

4) Решите графическим способом уравнение $x - 1 = \frac{6}{x}$.

Для решения уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x - 1$ и $y = \frac{6}{x}$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями уравнения.

1. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:

• Если $x=0$, то $y = -1$. Точка (0, -1).
• Если $x=1$, то $y = 0$. Точка (1, 0).

2. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола. Область определения $x \neq 0$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• При $x > 0$: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
• При $x < 0$: (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1).

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.

Найдем координаты точек пересечения:

Первая точка пересечения находится в I четверти. Из построенных точек видно, что это точка с координатами (3, 2). Проверим: для прямой $y = 3 - 1 = 2$; для гиперболы $y = \frac{6}{3} = 2$. Координаты верны.

Вторая точка пересечения находится в III четверти. Это точка с координатами (-2, -3). Проверим: для прямой $y = -2 - 1 = -3$; для гиперболы $y = \frac{6}{-2} = -3$. Координаты верны.

Решениями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) этих точек.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

31. 1) Найдите значение выражения $\sqrt{18} - (\sqrt{32} - (5\sqrt{2} + \sqrt{200}))$.

2) Укажите точки пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ с осями координат.

3) Найдите область определения функции $y = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 1}}$.

4) Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - 6y = -14, \\ y^2 - 4x = 1. \end{cases}$

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{18} - (\sqrt{32} - (5\sqrt{2} + \sqrt{200}))$ сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - (5\sqrt{2} + 10\sqrt{2}))$
Выполним действия в скобках, начиная с внутренних:
$5\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$
Теперь выражение выглядит так:
$3\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - 15\sqrt{2})$
Выполним вычитание в оставшихся скобках:
$4\sqrt{2} - 15\sqrt{2} = -11\sqrt{2}$
И, наконец, выполним последнее действие:
$3\sqrt{2} - (-11\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 11\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$
Ответ: $14\sqrt{2}$.

2) График функции $y = \sqrt{x}$. Найдем точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью OY (ось ординат):
Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y = \sqrt{0} = 0$
Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
Пересечение с осью OX (ось абсцисс):
Для этого нужно подставить $y=0$ в уравнение функции:
$0 = \sqrt{x}$
Возведя обе части в квадрат, получим $x = 0$.
Точка пересечения с осью OX: $(0, 0)$.
Таким образом, график функции пересекает оси координат в одной точке — начале координат.
Ответ: $(0, 0)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-2}{x+1}}$ — это множество всех значений $x$, при которых выражение под корнем неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.
Это равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} \frac{x-2}{x+1} \ge 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases}$
Из второго условия следует, что $x \neq -1$.
Для решения первого неравенства $\frac{x-2}{x+1} \ge 0$ используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$
Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$
Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=2$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ — выколотой (т.к. знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2]$, $[2, +\infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x-2}{x+1}$ на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty, -1)$: возьмем $x=-2$, получим $\frac{-2-2}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$.
- На интервале $(-1, 2]$: возьмем $x=0$, получим $\frac{0-2}{0+1} = -2 < 0$.
- На интервале $[2, +\infty)$: возьмем $x=3$, получим $\frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} > 0$.
Нас интересуют интервалы, где выражение неотрицательно. Это $(-\infty, -1)$ и $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [2, +\infty)$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 6y = -14 \\ y^2 - 4x = 1 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(x^2 - 6y) + (y^2 - 4x) = -14 + 1$
$x^2 - 4x + y^2 - 6y = -13$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и дополним их до полных квадратов:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = -13$
Свернем полные квадраты:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 - 13 = -13$
Прибавим 13 к обеим частям уравнения:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 0$
Сумма двух квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.
$(x-2)^2 = 0 \implies x-2=0 \implies x=2$
$(y-3)^2 = 0 \implies y-3=0 \implies y=3$
Мы получили единственное возможное решение $(2, 3)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения.
Проверка:
Первое уравнение: $x^2 - 6y = (2)^2 - 6(3) = 4 - 18 = -14$. Верно.
Второе уравнение: $y^2 - 4x = (3)^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$. Верно.
Решение удовлетворяет обоим уравнениям системы.
Ответ: $(2, 3)$.

32. 1) Найдите значение выражения $a^2 - 6\sqrt{5}a - 1$ при $a = \sqrt{5} + 4$.

2) Решите уравнение $\frac{1}{2 - x} - 1 = \frac{1}{x - 2} - \frac{6 - x}{3x^2 - 12}$

3) На турбазе имеются палатки и домики, всего их 25. В каждом домике живет 4 человека, а в палатке — 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?

4) С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} y = x^3, \\ xy = 4. \end{cases}$

1)

Чтобы найти значение выражения $a^2 - 6\sqrt{5}a - 1$, подставим в него значение $a = \sqrt{5} + 4$.

Получим: $(\sqrt{5} + 4)^2 - 6\sqrt{5}(\sqrt{5} + 4) - 1$.

Раскроем скобки пошагово:

1. Возведем в квадрат первую скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(\sqrt{5} + 4)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 4 + 4^2 = 5 + 8\sqrt{5} + 16 = 21 + 8\sqrt{5}$.

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-6\sqrt{5}$ на каждый член внутри нее:
$-6\sqrt{5}(\sqrt{5} + 4) = -6\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 6\sqrt{5} \cdot 4 = -6 \cdot 5 - 24\sqrt{5} = -30 - 24\sqrt{5}$.

3. Теперь соберем все части выражения вместе и приведем подобные слагаемые:
$(21 + 8\sqrt{5}) + (-30 - 24\sqrt{5}) - 1 = 21 + 8\sqrt{5} - 30 - 24\sqrt{5} - 1$.
Сгруппируем целые числа и слагаемые с корнем:
$(21 - 30 - 1) + (8\sqrt{5} - 24\sqrt{5}) = -10 - 16\sqrt{5}$.

Ответ: $-10 - 16\sqrt{5}$.

2)

Дано уравнение: $\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$
• $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
• $3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$, поэтому $\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$. Также разложим знаменатель $3x^2-12$ на множители: $3(x-2)(x+2)$.

Перепишем уравнение: $-\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$.

Перенесем все дроби в левую часть, а число -1 в правую: $-\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-2} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

$-\frac{2}{x-2} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$: $\frac{-2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

$\frac{-6(x+2) + (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 1$.

$\frac{-6x - 12 + 6 - x}{3(x^2-4)} = 1$.

$\frac{-7x - 6}{3x^2 - 12} = 1$.

Умножим обе части на знаменатель (так как мы учли ОДЗ, это равносильный переход): $-7x - 6 = 3x^2 - 12$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $3x^2 + 7x - 12 + 6 = 0$.

$3x^2 + 7x - 6 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.

Оба корня ($x_1 = 2/3$ и $x_2 = -3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

3)

Пусть $x$ — количество палаток на турбазе, а $y$ — количество домиков.

По условию, всего палаток и домиков 25. Это дает нам первое уравнение: $x + y = 25$.

В каждой палатке живут 2 человека, значит, в $x$ палатках живут $2x$ человек. В каждом домике живут 4 человека, значит, в $y$ домиках живут $4y$ человек. Всего на турбазе отдыхают 70 человек. Это дает нам второе уравнение: $2x + 4y = 70$.

Получаем систему из двух линейных уравнений: $\begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + 4y = 70 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 25 - y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $2(25 - y) + 4y = 70$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$: $50 - 2y + 4y = 70$. $2y = 70 - 50$. $2y = 20$. $y = 10$.

Итак, на турбазе 10 домиков. Теперь найдем количество палаток, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $x = 25 - 10 = 15$.

На турбазе 15 палаток.

Проверка: $15 + 10 = 25$ (всего мест проживания). $2 \cdot 15 + 4 \cdot 10 = 30 + 40 = 70$ (всего человек). Все верно.

Ответ: 15 палаток и 10 домиков.

4)

Чтобы определить, сколько решений имеет система уравнений, нужно построить графики функций, входящих в систему, и найти количество точек их пересечения. $\begin{cases} y = x^3 \\ xy = 4 \end{cases}$

Систему можно переписать в виде: $\begin{cases} y = x^3 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$

Рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. $y = x^3$ — это кубическая парабола. График проходит через начало координат (0;0), точку (1;1) и (-1;-1), (2;8) и (-2;-8). Функция возрастает на всей числовой оси. График расположен в I и III координатных четвертях.

2. $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=4 > 0$. Оси координат являются асимптотами для этого графика. График проходит через точки (1;4), (2;2), (4;1), а также (-1;-4), (-2;-2), (-4;-1).

Теперь мысленно или на эскизе наложим графики друг на друга.

• В I координатной четверти ($x > 0$): График $y = x^3$ начинается в (0;0) и быстро растет. График $y = 4/x$ приходит из бесконечности сверху и убывает, приближаясь к оси X. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься только в одной точке. Мы можем найти эту точку: $x^3 = 4/x \implies x^4 = 4 \implies x = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$. Здесь есть одно решение.
• В III координатной четверти ($x < 0$): График $y = x^3$ приходит из минус бесконечности и растет, приближаясь к (0;0). График $y = 4/x$ также растет от минус бесконечности (при $x \to 0^-$) и приближается к оси X (при $x \to -\infty$). Их графики также пересекутся один раз. Решением будет $x = -\sqrt{2}$. Здесь есть второе решение.

Так как графики существуют только в I и III четвертях, других пересечений нет.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках. Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Ответ: 2 решения.