Страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

36. 1) Решите уравнение $|1 + 3x| - |x - 1| = 2 - x$.

2) Упростите выражение $\frac{6x^2 + x - 7}{13x - 10x^2 - 3}$ и определите, какие значения оно может принимать.

3) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{2}$, а седьмой равен $\sqrt{128}$. Найдите восьмой член прогрессии.

4) Решите уравнение $\frac{6}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{24}{(x - 2)(x + 4)} = 1$.

1) Для решения уравнения $|1 + 3x| - |x - 1| = 2 - x$ воспользуемся методом интервалов.
Найдем нули подмодульных выражений:
$1 + 3x = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{3})$, $[-\frac{1}{3}; 1)$ и $[1; +\infty)$.
Рассмотрим уравнение на каждом из этих интервалов.

Случай 1: $x < -\frac{1}{3}$.
На этом интервале $1+3x < 0$ и $x-1 < 0$. Следовательно, $|1+3x| = -(1+3x)$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$-(1 + 3x) - (-(x - 1)) = 2 - x$
$-1 - 3x + x - 1 = 2 - x$
$-2 - 2x = 2 - x$
$-x = 4$
$x = -4$
Значение $x = -4$ принадлежит интервалу $(-\infty; -\frac{1}{3})$, значит, является корнем уравнения.

Случай 2: $-\frac{1}{3} \le x < 1$.
На этом интервале $1+3x \ge 0$ и $x-1 < 0$. Следовательно, $|1+3x| = 1+3x$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$(1 + 3x) - (-(x - 1)) = 2 - x$
$1 + 3x + x - 1 = 2 - x$
$4x = 2 - x$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Значение $x = \frac{2}{5}$ (или $0.4$) принадлежит интервалу $[-\frac{1}{3}; 1)$, значит, является корнем уравнения.

Случай 3: $x \ge 1$.
На этом интервале $1+3x > 0$ и $x-1 \ge 0$. Следовательно, $|1+3x| = 1+3x$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(1 + 3x) - (x - 1) = 2 - x$
$1 + 3x - x + 1 = 2 - x$
$2 + 2x = 2 - x$
$3x = 0$
$x = 0$
Значение $x = 0$ не принадлежит интервалу $[1; +\infty)$, значит, не является корнем.

Объединяя решения из всех случаев, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = \frac{2}{5}$.

2) Сначала упростим выражение $\frac{6x^2 + x - 7}{13x - 10x^2 - 3}$.
Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $6x^2 + x - 7$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6}$
$x_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$
Таким образом, $6x^2 + x - 7 = 6(x - 1)(x + \frac{7}{6}) = (x - 1)(6x + 7)$.

Знаменатель: $13x - 10x^2 - 3 = -(10x^2 - 13x + 3)$.
Найдем корни уравнения $10x^2 - 13x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{13 - 7}{2 \cdot 10} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
$x_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1$
Таким образом, $13x - 10x^2 - 3 = -10(x - 1)(x - \frac{3}{10}) = -(x - 1)(10x - 3) = (x - 1)(3 - 10x)$.

Теперь подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(x-1)(6x+7)}{(x-1)(3-10x)}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-1)(3-10x) \ne 0$, откуда $x \ne 1$ и $x \ne \frac{3}{10}$.
При $x \ne 1$ можно сократить дробь на $(x - 1)$.
Упрощенное выражение: $y = \frac{6x+7}{3-10x}$.

Теперь определим, какие значения может принимать это выражение.
Данная функция является дробно-линейной. Множество ее значений - все действительные числа, за исключением значения, которое она принимает в точке горизонтальной асимптоты. Горизонтальная асимптота $y = \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5}$. Это значение функция никогда не примет.
Кроме того, из-за сокращения на $(x-1)$, в графике функции есть "выколотая" точка при $x=1$. Найдем значение $y$ в этой точке:
$y(1) = \frac{6(1)+7}{3-10(1)} = \frac{13}{-7} = -\frac{13}{7}$.
Это значение также не может быть принято выражением.
Другое ограничение $x \ne \frac{3}{10}$ соответствует вертикальной асимптоте, где функция уходит в бесконечность, поэтому никаких других ограничений на значения $y$ это не накладывает.
Таким образом, выражение может принимать любые значения, кроме $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{13}{7}$.
Ответ: Упрощенное выражение: $\frac{6x+7}{3-10x}$. Выражение может принимать любые действительные значения, кроме $-\frac{13}{7}$ и $-\frac{3}{5}$, то есть $y \in (-\infty; -\frac{13}{7}) \cup (-\frac{13}{7}; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5}; +\infty)$.

3) Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$, а знаменатель прогрессии как $q$.
По условию, первый член $b_1 = \sqrt{2}$, а седьмой член $b_7 = \sqrt{128}$.
Упростим $b_7$: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для седьмого члена: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$.
Подставим известные значения:
$8\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^6$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$q^6 = 8$
Отсюда $q^2 = \sqrt[3]{8} = 2$, значит $q = \pm\sqrt{2}$.
Нам нужно найти восьмой член прогрессии, $b_8$.
$b_8 = b_7 \cdot q$.
Так как возможны два значения для $q$, рассмотрим оба случая:
1) Если $q = \sqrt{2}$, то $b_8 = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$.
2) Если $q = -\sqrt{2}$, то $b_8 = 8\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -8 \cdot 2 = -16$.
Оба варианта удовлетворяют условию задачи.
Ответ: $16$ или $-16$.

4) Решим уравнение $\frac{6}{(x-1)(x+3)} - \frac{24}{(x-2)(x+4)} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1, x \ne -3, x \ne 2, x \ne -4$.
Раскроем скобки в знаменателях:
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
$(x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$
Уравнение принимает вид:
$\frac{6}{x^2 + 2x - 3} - \frac{24}{x^2 + 2x - 8} = 1$
Заметим, что в обоих знаменателях есть одинаковое выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену: $y = x^2 + 2x$.
Уравнение с новой переменной:
$\frac{6}{y - 3} - \frac{24}{y - 8} = 1$
Приведем к общему знаменателю $(y-3)(y-8)$, при условии $y \ne 3$ и $y \ne 8$.
$6(y-8) - 24(y-3) = (y-3)(y-8)$
$6y - 48 - 24y + 72 = y^2 - 8y - 3y + 24$
$-18y + 24 = y^2 - 11y + 24$
$0 = y^2 - 11y + 18y$
$y^2 + 7y = 0$
$y(y+7) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = -7$. Оба значения не равны 3 и 8.
Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 0$.
$x^2 + 2x = 0$
$x(x+2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -7$.
$x^2 + 2x = -7$
$x^2 + 2x + 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

37. 1) Пусть остаток от деления натурального числа n на 9 равен 5. Найдите остаток от деления на 9 числа $4n^2 + 7n + 2$.

2) В арифметической прогрессии ${a_n}$ имеем $a_1 = -85$, $a_{19}$ — её первый положительный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?

3) Найдите наименьшее значение выражения $2\sqrt{x+y+1} - 4 + 3(x+4y-3)^2$.

При каких значениях x и y оно достигается?

4) Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3375 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 2916 р. Первый брокер продал 60% своих акций, а второй — 70%. При этом сумма от продажи акций, полученная первым брокером, в $1\frac{2}{7}$ раза превысила сумму, полученную вторым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

1) По условию, остаток от деления натурального числа $n$ на 9 равен 5. В терминах сравнений по модулю это можно записать как $n \equiv 5 \pmod{9}$.

Нам нужно найти остаток от деления на 9 числа $4n^2 + 7n + 2$. Для этого подставим значение $n$ в выражение по модулю 9:

$4n^2 + 7n + 2 \equiv 4 \cdot 5^2 + 7 \cdot 5 + 2 \pmod{9}$

Вычислим значение выражения:

$4 \cdot 25 + 35 + 2 = 100 + 35 + 2 = 137$

Теперь найдем остаток от деления 137 на 9:

$137 = 15 \cdot 9 + 2$

Следовательно, $137 \equiv 2 \pmod{9}$. Остаток от деления равен 2.

Ответ: 2.

2) Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$. По условию, $a_1 = -85$. То, что $a_{19}$ — первый положительный член прогрессии, означает выполнение двух условий одновременно:

1. Девятнадцатый член прогрессии положителен: $a_{19} > 0$.

2. Восемнадцатый член прогрессии еще не положителен (то есть отрицателен или равен нулю): $a_{18} \le 0$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Запишем наши условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} a_1 + (19-1)d > 0 \\ a_1 + (18-1)d \le 0 \end{cases}$

Подставим $a_1 = -85$:

$\begin{cases} -85 + 18d > 0 \\ -85 + 17d \le 0 \end{cases}$

Решим эту систему относительно $d$:

$\begin{cases} 18d > 85 \\ 17d \le 85 \end{cases} \implies \begin{cases} d > \frac{85}{18} \\ d \le \frac{85}{17} \end{cases} \implies \begin{cases} d > 4\frac{13}{18} \\ d \le 5 \end{cases}$

Таким образом, разность прогрессии $d$ должна удовлетворять неравенству $4\frac{13}{18} < d \le 5$. Поскольку по условию $d$ должно быть целым числом, единственное целое значение, удовлетворяющее этому неравенству, — это 5.

Ответ: 5.

3) Рассмотрим выражение $E = 2\sqrt{x+y+1} - 4 + 3(x+4y-3)^2$. Оно состоит из трех слагаемых: $2\sqrt{x+y+1}$, $-4$ и $3(x+4y-3)^2$.

Чтобы значение всего выражения было наименьшим, нужно минимизировать значения слагаемых, содержащих переменные.

1. Слагаемое $3(x+4y-3)^2$ представляет собой квадрат некоторого числа, умноженный на 3. Его наименьшее значение равно 0, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это достигается при условии $x+4y-3=0$.

2. Слагаемое $2\sqrt{x+y+1}$ также неотрицательно, поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Его наименьшее значение равно 0. Это достигается при условии $x+y+1=0$. Также должно выполняться условие области определения корня $x+y+1 \ge 0$.

Чтобы найти наименьшее значение всего выражения, нужно проверить, могут ли оба этих условия выполняться одновременно. Для этого решим систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x+4y-3=0 \\ x+y+1=0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = -y-1$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-y-1) + 4y - 3 = 0$

$3y - 4 = 0$

$y = \frac{4}{3}$

Теперь найдем $x$:

$x = -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{4}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{7}{3}$

При значениях $x = -7/3$ и $y = 4/3$ оба слагаемых, $2\sqrt{x+y+1}$ и $3(x+4y-3)^2$, достигают своего минимального значения, равного 0.

Тогда наименьшее значение всего выражения будет:

$E_{min} = 2\sqrt{0} - 4 + 3(0)^2 = 0 - 4 + 0 = -4$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно -4; оно достигается при $x = -7/3$ и $y = 4/3$.

4) Пусть $P_1$ — начальная цена одной акции, $P_2$ — возросшая цена одной акции. Пусть $n_1$ и $n_2$ — количество акций, купленных первым и вторым брокером соответственно.

Суммарная стоимость покупки акций: $(n_1 + n_2)P_1 = 3375$.

Первый брокер продал 60% своих акций, то есть $0.6n_1$ акций. Его выручка составила $S_1 = 0.6n_1 P_2$.

Второй брокер продал 70% своих акций, то есть $0.7n_2$ акций. Его выручка составила $S_2 = 0.7n_2 P_2$.

Суммарная выручка от продажи: $S_1 + S_2 = 2916$.

По условию, сумма, полученная первым брокером, в $1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ раза превысила сумму, полученную вторым:

$S_1 = \frac{9}{7}S_2 \implies 0.6n_1 P_2 = \frac{9}{7}(0.7n_2 P_2)$.

Так как цена $P_2 > 0$, можем сократить на нее:

$0.6n_1 = \frac{9}{7} \cdot 0.7n_2 \implies 0.6n_1 = 9 \cdot 0.1n_2 \implies 0.6n_1 = 0.9n_2 \implies 2n_1 = 3n_2 \implies n_1 = 1.5n_2$.

Теперь подставим это соотношение в уравнения для суммарной стоимости и суммарной выручки.

1. Суммарная стоимость: $(1.5n_2 + n_2)P_1 = 3375 \implies 2.5n_2 P_1 = 3375 \implies n_2 P_1 = \frac{3375}{2.5} = 1350$.

2. Суммарная выручка: $0.6(1.5n_2)P_2 + 0.7n_2 P_2 = 2916 \implies 0.9n_2 P_2 + 0.7n_2 P_2 = 2916 \implies 1.6n_2 P_2 = 2916 \implies n_2 P_2 = \frac{2916}{1.6} = 1822.5$.

У нас есть система:

$\begin{cases} n_2 P_1 = 1350 \\ n_2 P_2 = 1822.5 \end{cases}$

Чтобы найти, на сколько процентов возросла цена, нам нужно найти отношение $\frac{P_2}{P_1}$. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{n_2 P_2}{n_2 P_1} = \frac{1822.5}{1350} \implies \frac{P_2}{P_1} = 1.35$.

Это означает, что новая цена составляет 135% от старой. Процентное увеличение цены равно:

$(\frac{P_2}{P_1} - 1) \cdot 100\% = (1.35 - 1) \cdot 100\% = 0.35 \cdot 100\% = 35\%$.

Ответ: на 35%.