Страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

12. 1) Решите уравнение $\frac{2x^2 + 1}{3} - 1 = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$.

2) Решите неравенство $\frac{2y - 16}{y + 7} < 0$.

3) Решите уравнение $x - 10\sqrt{x} - 11 = 0$.

4) Сравните числа $\sqrt{6} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{11}$.

1) Исходное уравнение:
$\frac{2x^2 + 1}{3} - 1 = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{2x^2 + 1 - 3}{3} = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$
$\frac{2x^2 - 2}{3} = \frac{x^2 - 2x + 16}{8}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 24, чтобы избавиться от дробей:
$8(2x^2 - 2) = 3(x^2 - 2x + 16)$
Раскроем скобки:
$16x^2 - 16 = 3x^2 - 6x + 48$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$16x^2 - 3x^2 + 6x - 16 - 48 = 0$
$13x^2 + 6x - 64 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-64) = 36 + 3328 = 3364$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-6 + 58}{2 \cdot 13} = \frac{52}{26} = 2$
$x_2 = \frac{-6 - 58}{2 \cdot 13} = \frac{-64}{26} = -\frac{32}{13}$
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{32}{13}$.

2) Решим неравенство методом интервалов:
$\frac{2y - 16}{y + 7} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $2y - 16 = 0 \Rightarrow 2y = 16 \Rightarrow y = 8$.
Нуль знаменателя: $y + 7 = 0 \Rightarrow y = -7$.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $y = -7$ будет выколотой. Поскольку неравенство строгое ($<0$), точка $y = 8$ также будет выколотой.
Отметим точки -7 и 8 на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах:
- при $y > 8$ (например, $y=10$): $\frac{2(10)-16}{10+7} = \frac{4}{17} > 0$ (знак "+")
- при $-7 < y < 8$ (например, $y=0$): $\frac{2(0)-16}{0+7} = \frac{-16}{7} < 0$ (знак "-")
- при $y < -7$ (например, $y=-10$): $\frac{2(-10)-16}{-10+7} = \frac{-36}{-3} > 0$ (знак "+")
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "-".
Этот интервал: $(-7; 8)$.
Ответ: $y \in (-7; 8)$.

3) Дано уравнение:
$x - 10\sqrt{x} - 11 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку корень не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
Тогда $x = t^2$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 10t - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 10$
$t_1 \cdot t_2 = -11$
Корни: $t_1 = 11$ и $t_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 11$ (удовлетворяет условию).
$t_2 = -1$ (не удовлетворяет условию, посторонний корень).
Выполним обратную замену для $t = 11$:
$\sqrt{x} = 11$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 11^2 = 121$.
Корень $x = 121$ удовлетворяет ОДЗ ($121 \ge 0$).
Ответ: $x=121$.

4) Сравним числа $\sqrt{6} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{11}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Если $A > 0$ и $B > 0$, то $A > B \iff A^2 > B^2$.
Возведем в квадрат первое число:
$(\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 6 + 2\sqrt{48} + 8 = 14 + 2\sqrt{48}$.
Возведем в квадрат второе число:
$(\sqrt{3} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 3 + 2\sqrt{33} + 11 = 14 + 2\sqrt{33}$.
Теперь сравним полученные выражения: $14 + 2\sqrt{48}$ и $14 + 2\sqrt{33}$.
Отбросим одинаковую часть (14) и сравним $2\sqrt{48}$ и $2\sqrt{33}$.
Это эквивалентно сравнению $\sqrt{48}$ и $\sqrt{33}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, то чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.
Сравниваем подкоренные выражения: $48 > 33$.
Следовательно, $\sqrt{48} > \sqrt{33}$, а значит $14 + 2\sqrt{48} > 14 + 2\sqrt{33}$.
Таким образом, $(\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 > (\sqrt{3} + \sqrt{11})^2$.
Поскольку исходные числа были положительны, то $\sqrt{6} + \sqrt{8} > \sqrt{3} + \sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{8} > \sqrt{3} + \sqrt{11}$.

13. 1) Вычислите

$(-\frac{2}{5})^2 \cdot (-\frac{4}{3})^{-3} - (0,3)^{-3} \cdot (-0,3)^4 - (\frac{71}{9})^0 : (-\frac{3}{2})^{-2}$

2) Упростите выражение

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{x^2+x}{4x}$

3) Постройте график функции

$y = x^2 - 3x + 1$

4) Произведение двух целых чисел равно 30, а их сумма равна 11. Найдите эти числа.

1) Вычислите
Выполним вычисления по действиям.
Исходное выражение: $ (\frac{2}{5})^2 \cdot (-1\frac{1}{3})^{-3} - (0,3)^{-3} \cdot (-0,3)^4 - (7\frac{8}{9})^0 : (-1\frac{1}{2})^{-2} $.

1. Вычислим первое слагаемое: $ (\frac{2}{5})^2 \cdot (-1\frac{1}{3})^{-3} $.
$ (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25} $
$ -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3} $
$ (-\frac{4}{3})^{-3} = (-\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{64} $
$ \frac{4}{25} \cdot (-\frac{27}{64}) = -\frac{4 \cdot 27}{25 \cdot 64} = -\frac{1 \cdot 27}{25 \cdot 16} = -\frac{27}{400} $.

2. Вычислим второе слагаемое: $ (0,3)^{-3} \cdot (-0,3)^4 $.
Так как степень 4 четная, $ (-0,3)^4 = (0,3)^4 $.
Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ (0,3)^{-3} \cdot (0,3)^4 = (0,3)^{-3+4} = (0,3)^1 = 0,3 $.

3. Вычислим третье слагаемое: $ (7\frac{8}{9})^0 : (-1\frac{1}{2})^{-2} $.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $ (7\frac{8}{9})^0 = 1 $.
$ -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $
$ (-\frac{3}{2})^{-2} = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $
$ 1 : \frac{4}{9} = 1 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{4} $.

4. Соберем все части вместе:
$ -\frac{27}{400} - 0,3 - \frac{9}{4} $
Переведем все в обыкновенные дроби с общим знаменателем 400.
$ 0,3 = \frac{3}{10} = \frac{120}{400} $
$ \frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 100}{4 \cdot 100} = \frac{900}{400} $
$ -\frac{27}{400} - \frac{120}{400} - \frac{900}{400} = \frac{-27 - 120 - 900}{400} = \frac{-1047}{400} = -2,6175 $.

Ответ: -2,6175.

2) Упростите выражение
Исходное выражение: $ (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{x^2+x}{4x} $.

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) $:
$ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1) - 1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1} $.

2. Упростим вторую дробь, вынеся общий множитель в числителе:
$ \frac{x^2+x}{4x} = \frac{x(x+1)}{4x} $.
Сократим на $ x $ (при условии, что $ x \ne 0 $):
$ \frac{x+1}{4} $.

3. Перемножим полученные выражения:
$ \frac{2}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{4} $
Разложим знаменатель $ x^2-1 $ на множители по формуле разности квадратов: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $.
$ \frac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{4} = \frac{2 \cdot (x+1)}{4 \cdot (x-1)(x+1)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ 2(x+1) $ (при условии, что $ x \ne -1 $):
$ \frac{1}{2(x-1)} $.

Ответ: $ \frac{1}{2(x-1)} $.

3) Постройте график функции
Функция $ y = x^2 - 3x + 1 $ является квадратичной, ее график — парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $ x^2 $ равен $ a=1 $, так как $ a > 0 $, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $ (x_v; y_v) $.
$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5 $.
$ y_v = (1,5)^2 - 3 \cdot (1,5) + 1 = 2,25 - 4,5 + 1 = -1,25 $.
Вершина параболы находится в точке $ (1,5; -1,25) $.

3. Найдем точку пересечения с осью Oy. Для этого подставим $ x=0 $:
$ y = 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 $.
График пересекает ось Oy в точке $ (0; 1) $.

4. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции). Для этого решим уравнение $ x^2 - 3x + 1 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $.
$ x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0,38 $; $ x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2,62 $.
Точки пересечения с осью Ox: $ (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 0) $ и $ (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; 0) $.

5. Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси параболы $ x=1,5 $.
- Если $ x=1 $, $ y = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1 $. Точка $ (1; -1) $.
- Если $ x=2 $, $ y = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = -1 $. Точка $ (2; -1) $.
- Если $ x=0 $, $ y = 1 $. Точка $ (0; 1) $.
- Если $ x=3 $, $ y = 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 = 1 $. Точка $ (3; 1) $.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $ (1,5; -1,25) $. График пересекает ось Oy в точке $ (0; 1) $ и ось Ox в точках $ (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 0) $ и $ (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; 0) $.

4) Произведение двух целых чисел равно 30, а их сумма равна 11. Найдите эти числа.
Пусть искомые числа - это $ a $ и $ b $. По условию задачи мы можем составить систему уравнений:
$ \begin{cases} a \cdot b = 30 \\ a + b = 11 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, эти числа являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - 11t + 30 = 0 $.
Решим это уравнение. Можно найти корни подбором. Рассмотрим пары целых чисел, произведение которых равно 30:
1 и 30 (сумма 31)
2 и 15 (сумма 17)
3 и 10 (сумма 13)
5 и 6 (сумма 11)
Пара чисел 5 и 6 удовлетворяет условию, так как их сумма равна 11.
Проверка: $ 5 \cdot 6 = 30 $ и $ 5 + 6 = 11 $.

Ответ: 5 и 6.

14. 1) Вычислите $ \frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{5}{12} : \left(2,5 \cdot \frac{1}{3} - 0,875\right) $.

2) Упростите выражение $ \frac{a}{a^2 - 4} + \frac{a}{a + 2} \cdot \left(\frac{a}{a^2 - a} - \frac{1}{a - 1}\right) $.

3) Постройте график функции $ y = 2x - x^2 $.

4) Сумма двух целых чисел равна 6, а их произведение равно –7. Найдите эти числа.

1) Вычислите $\frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{5}{12} : \left(2,5 \cdot \frac{1}{3} - 0,875\right)$.

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем деление и умножение, и в конце сложение.
1. Вычислим выражение в скобках: $2,5 \cdot \frac{1}{3} - 0,875$.
Переведем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений:
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$0,875 = \frac{875}{1000} = \frac{175}{200} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8}$
Теперь выполним умножение в скобках:
$2,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$
Теперь вычитание в скобках:
$\frac{5}{6} - \frac{7}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{5 \cdot 4}{24} - \frac{7 \cdot 3}{24} = \frac{20 - 21}{24} = -\frac{1}{24}$
2. Теперь вернемся к исходному выражению: $\frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{5}{12} : \left(-\frac{1}{24}\right)$.
Выполним умножение:
$\frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
Выполним деление:
$\frac{5}{12} : \left(-\frac{1}{24}\right) = \frac{5}{12} \cdot \left(-\frac{24}{1}\right) = - \frac{5 \cdot 24}{12} = - 5 \cdot 2 = -10$
3. Выполним сложение:
$\frac{5}{4} + (-10) = \frac{5}{4} - 10 = 1,25 - 10 = -8,75$

Ответ: -8,75

2) Упростите выражение $\frac{a}{a^2 - 4} + \frac{a}{a+2} \cdot \left(\frac{a}{a^2 - a} - \frac{1}{a-1}\right)$.

Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{a}{a^2 - a} - \frac{1}{a-1}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2 - a = a(a-1)$.
$\frac{a}{a(a-1)} - \frac{1}{a-1}$. Сократим первую дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a-1} = 0$
Таким образом, все выражение в скобках равно 0.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{a}{a^2 - 4} + \frac{a}{a+2} \cdot 0$
Любое число, умноженное на 0, равно 0, поэтому второй член равен 0:
$\frac{a}{a^2 - 4} + 0 = \frac{a}{a^2 - 4}$
Упрощение справедливо при области допустимых значений (ОДЗ):
$a^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 2$
$a+2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2$
$a^2 - a \neq 0 \Rightarrow a(a-1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0$ и $a \neq 1$
$a-1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$
ОДЗ: $a \notin \{-2, 0, 1, 2\}$.

Ответ: $\frac{a}{a^2-4}$

3) Постройте график функции $y = 2x - x^2$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Запишем функцию в стандартном виде $y = -x^2 + 2x$.
1. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(1; 1)$.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$):
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью OX (при $y=0$):
$-x^2 + 2x = 0$
$x(-x + 2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
4. Для более точного построения найдем еще несколько точек. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии параболы $x=1$.
При $x = -1$: $y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1; -3)$.
При $x = 3$: $y = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$. Точка $(3; -3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(1; 1)$. График проходит через точки $(-1; -3)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 0)$, $(3; -3)$.

4) Сумма двух целых чисел равна 6, а их произведение равно -7. Найдите эти числа.

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$.
По условию задачи составим систему уравнений:
1) $x + y = 6$
2) $x \cdot y = -7$
Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим в это уравнение значения из нашей системы:
$t^2 - 6t - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни подбором (по теореме Виета) или через дискриминант.
Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, искомые числа — это 7 и -1.
Проверим:
Сумма: $7 + (-1) = 6$.
Произведение: $7 \cdot (-1) = -7$.
Оба условия выполняются.

Ответ: 7 и -1

15. 1) Вычислите $27\sqrt{1\frac{2}{3}} - 3\sqrt{60} - 15\sqrt{0.6} + 18\sqrt{2\frac{7}{9}}$.

2) Упростите выражение $\frac{1}{\left(\frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} - \frac{16}{a^2-4}\right)} + 2$.

3) Постройте график функции $y = 0.2x^2 - 3$.

4) Произведение двух чисел равно 3.5, а их разность равна 6.5. Найдите эти числа.

1)

Для вычисления значения выражения $27\sqrt{1\frac{2}{3}} - 3\sqrt{60} - 15\sqrt{0,6} + 18\sqrt{2\frac{7}{9}}$ упростим каждый его член по отдельности.

1. Преобразуем смешанные и десятичные дроби под корнями в неправильные дроби и разложим числа на множители:

$27\sqrt{1\frac{2}{3}} = 27\sqrt{\frac{5}{3}} = 27 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = 27 \cdot \frac{\sqrt{5}\sqrt{3}}{3} = 9\sqrt{15}$

$3\sqrt{60} = 3\sqrt{4 \cdot 15} = 3 \cdot 2\sqrt{15} = 6\sqrt{15}$

$15\sqrt{0,6} = 15\sqrt{\frac{6}{10}} = 15\sqrt{\frac{3}{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{15}$

$18\sqrt{2\frac{7}{9}} = 18\sqrt{\frac{2 \cdot 9 + 7}{9}} = 18\sqrt{\frac{25}{9}} = 18 \cdot \frac{5}{3} = 30$

2. Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$9\sqrt{15} - 6\sqrt{15} - 3\sqrt{15} + 30 = (9 - 6 - 3)\sqrt{15} + 30 = 0 \cdot \sqrt{15} + 30 = 30$

Ответ: 30

2)

Упростим выражение $\frac{1}{(\frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} - \frac{16}{a^2-4})} + 2$. Область допустимых значений переменной $a$: $a \neq \pm 2$.

1. Сначала выполним действия в скобках в знаменателе. Общий знаменатель для дробей: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} - \frac{16}{a^2-4} = \frac{(a+2)(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{16}{a^2-4}$

2. Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(a^2+4a+4) + (a^2-4a+4) - 16}{a^2-4} = \frac{2a^2+8-16}{a^2-4} = \frac{2a^2 - 8}{a^2-4}$

3. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(a^2 - 4)}{a^2 - 4} = 2$

4. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2} + 2 = 0,5 + 2 = 2,5$

Ответ: 2,5

3)

Чтобы построить график функции $y = 0,2x^2 - 3$, определим его основные свойства и найдем координаты нескольких ключевых точек.

1. График данной функции — парабола, так как это квадратичная функция.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $0,2$. Так как он положителен ($0,2 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

3. График функции $y = 0,2x^2 - 3$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем двух преобразований: сжатием вдоль оси OY к оси OX в 5 раз (или с коэффициентом 0,2) и смещением на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

4. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Ось симметрии — прямая $x=0$ (ось OY).

5. Найдем координаты нескольких точек для более точного построения:
- при $x=0, y = 0,2(0)^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$ (вершина).
- при $x=2, y = 0,2(2)^2 - 3 = 0,2 \cdot 4 - 3 = 0,8 - 3 = -2,2$. Точка $(2, -2,2)$.
- при $x=-2, y = -2,2$ (в силу симметрии). Точка $(-2, -2,2)$.
- при $x=5, y = 0,2(5)^2 - 3 = 0,2 \cdot 25 - 3 = 5 - 3 = 2$. Точка $(5, 2)$.
- при $x=-5, y=2$ (в силу симметрии). Точка $(-5, 2)$.
Для построения графика необходимо отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 0,2x^2 - 3$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх. График проходит через точки $(\pm 2, -2,2)$ и $(\pm 5, 2)$.

4)

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи можно составить систему уравнений:

$\begin{cases} x \cdot y = 3,5 \\ x - y = 6,5 \end{cases}$

1. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y + 6,5$

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 6,5) \cdot y = 3,5$

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$y^2 + 6,5y - 3,5 = 0$

4. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 2:

$2y^2 + 13y - 7 = 0$

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$

6. Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$

$y_2 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

7. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$ :
- Если $y_1 = -7$, то $x_1 = -7 + 6,5 = -0,5$.
- Если $y_2 = 0,5$, то $x_2 = 0,5 + 6,5 = 7$.

Таким образом, мы получили две пары чисел: $(-0,5; -7)$ и $(7; 0,5)$. В обоих случаях это один и тот же набор чисел.

Ответ: 7 и 0,5.

16. 1) Вычислите $ \left(4\frac{5}{12} - 4\frac{4}{15}\right) \cdot 0.4 + 0.4 $

2) Упростите выражение $ \frac{x}{x+3} + \frac{3x}{x-3} \cdot \left(\frac{3}{x^2-3x} - \frac{x-9}{9-x^2}\right) $

3) Постройте график функции $ y = -0.5x^2 + 1.5 $

4) Разность двух чисел равна -9,7, а их произведение равно -12,3. Найдите эти числа.

1) Вычислите

Выполним вычисления по действиям для выражения $\left(4\frac{5}{12} - 4\frac{4}{15}\right) \cdot 0,4 + 0,4$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках: $4\frac{5}{12} - 4\frac{4}{15}$. Так как целые части одинаковы, вычитаем только дробные части: $\frac{5}{12} - \frac{4}{15}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 15 равно 60.

$\frac{5}{12} - \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{25}{60} - \frac{16}{60} = \frac{25 - 16}{60} = \frac{9}{60}$.

Сократим полученную дробь на 3: $\frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.

2. Теперь умножим результат на 0,4. Представим 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$\frac{3}{20} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{20 \cdot 5} = \frac{6}{100}$.

3. Наконец, прибавим 0,4. Переведем результат предыдущего действия в десятичную дробь: $\frac{6}{100} = 0,06$.

$0,06 + 0,4 = 0,46$.

Ответ: 0,46.

2) Упростите выражение

Упростим выражение $\frac{x}{x+3} + \frac{3x}{x-3} \cdot \left(\frac{3}{x^2-3x} - \frac{x-9}{9-x^2}\right)$.

1. Сначала преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 3x = x(x-3)$

$9 - x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3)$

Подставим разложенные знаменатели в скобки:

$\frac{3}{x(x-3)} - \frac{x-9}{-(x-3)(x+3)} = \frac{3}{x(x-3)} + \frac{x-9}{(x-3)(x+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-3)(x+3)$:

$\frac{3(x+3)}{x(x-3)(x+3)} + \frac{x(x-9)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x+9+x^2-9x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-6x+9}{x(x-3)(x+3)}$

Заметим, что числитель является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

$\frac{(x-3)^2}{x(x-3)(x+3)}$

Сократим дробь на $(x-3)$ (при $x \neq 3$): $\frac{x-3}{x(x+3)}$.

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{3x}{x-3} \cdot \frac{x-3}{x(x+3)} = \frac{3x(x-3)}{(x-3)x(x+3)}$

Сократим на $x$ и $(x-3)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 3$): $\frac{3}{x+3}$.

3. Выполним сложение:

$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} = 1$

Выражение равно 1 при всех допустимых значениях $x$, которыми являются все числа, кроме $x=0$, $x=3$ и $x=-3$.

Ответ: 1.

3) Постройте график функции

Графиком функции $y = -0,5x^2 + 1,5$ является парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$. Так как $-0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Для функции вида $y = ax^2+c$ вершина находится на оси OY.

$x_v = 0$

$y_v = -0,5 \cdot 0^2 + 1,5 = 1,5$

Координаты вершины: $(0; 1,5)$.

3. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось OY).

4. Найдем несколько точек для построения графика, составив таблицу значений. В силу симметрии относительно оси OY, значения $y$ для $x$ и $-x$ будут одинаковыми.

5. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0; 1,5)$, точки из таблицы и соединить их плавной линией.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0; 1,5)$, ветвями, направленными вниз. Парабола симметрична относительно оси OY и проходит, например, через точки $(-1; 1)$, $(1; 1)$, $(-2; -0,5)$ и $(2; -0,5)$.

4) Разность двух чисел равна -9,7, а их произведение равно -12,3. Найдите эти числа.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. Из условия задачи составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = -9,7 \\ xy = -12,3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y - 9,7$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(y - 9,7) \cdot y = -12,3$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 9,7y + 12,3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-9,7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12,3 = 94,09 - 49,2 = 44,89$

Найдем корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9,7 \pm \sqrt{44,89}}{2 \cdot 1} = \frac{9,7 \pm 6,7}{2}$

Получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{9,7 + 6,7}{2} = \frac{16,4}{2} = 8,2$

$y_2 = \frac{9,7 - 6,7}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из уравнения $x = y - 9,7$:

1. Если $y = 8,2$, то $x = 8,2 - 9,7 = -1,5$. Первая пара чисел: $(-1,5; 8,2)$.

2. Если $y = 1,5$, то $x = 1,5 - 9,7 = -8,2$. Вторая пара чисел: $(-8,2; 1,5)$.

Обе пары удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: -1,5 и 8,2 или -8,2 и 1,5.