Страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

33. 1) Решите уравнение $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0.$

2) Решите неравенство $\frac{1}{9}x^2 \le 1$ и укажите все его целые решения.

3) В первом зрительном зале 420 мест, а во втором 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом из залов?

4) Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 13, \\ x + y = -2. \end{cases}$

1) Решите уравнение $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x^2 + x \neq 0 \implies x(x+1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -1$.

$x \neq 0$.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{2x + 5}{x(x + 1)} - \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{3x \cdot x}{x(x + 1)} = 0$.

Так как мы учли ОДЗ, мы можем приравнять числитель к нулю:

$(2x + 5) - 2(x + 1) - 3x^2 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x + 5 - 2x - 2 - 3x^2 = 0$

$3 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

2) Решите неравенство $\frac{1}{9}x^2 \le 1$ и укажите все его целые решения.

Умножим обе части неравенства на 9. Так как 9 > 0, знак неравенства не изменится:

$x^2 \le 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$x^2 - 9 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x = 3$ и $x = -3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят прямую на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, значения функции будут меньше или равны нулю между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-3; 3]$.

Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: $x \in [-3; 3]$; целые решения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3) В первом зрительном зале 420 мест, а во втором 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом из залов?

Пусть $r_1$ - количество рядов в первом зале, а $m_1$ - количество мест в ряду в первом зале.

Пусть $r_2$ - количество рядов во втором зале, а $m_2$ - количество мест в ряду во втором зале.

По условию задачи составим систему уравнений:

1) $r_1 \cdot m_1 = 420$ (общее количество мест в первом зале)

2) $r_2 \cdot m_2 = 480$ (общее количество мест во втором зале)

3) $r_2 = r_1 - 5$ (во втором зале на 5 рядов меньше)

4) $m_2 = m_1 + 10$ (во втором зале на 10 мест в ряду больше)

Подставим выражения для $r_2$ и $m_2$ из уравнений (3) и (4) в уравнение (2):

$(r_1 - 5)(m_1 + 10) = 480$

Из первого уравнения выразим $r_1$: $r_1 = \frac{420}{m_1}$.

Подставим это выражение в полученное уравнение:

$(\frac{420}{m_1} - 5)(m_1 + 10) = 480$

Раскроем скобки:

$\frac{420}{m_1} \cdot m_1 + \frac{420}{m_1} \cdot 10 - 5 \cdot m_1 - 5 \cdot 10 = 480$

$420 + \frac{4200}{m_1} - 5m_1 - 50 = 480$

$370 + \frac{4200}{m_1} - 5m_1 = 480$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{4200}{m_1} - 5m_1 - 110 = 0$

Умножим все уравнение на $m_1$ (так как $m_1 \neq 0$):

$4200 - 5m_1^2 - 110m_1 = 0$

Разделим на -5 для упрощения:

$m_1^2 + 22m_1 - 840 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 484 + 3360 = 3844$

$\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$

Найдем корни:

$m_{1,1} = \frac{-22 + 62}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$m_{1,2} = \frac{-22 - 62}{2 \cdot 1} = \frac{-84}{2} = -42$

Количество мест в ряду не может быть отрицательным, поэтому $m_1 = 20$.

Теперь найдем количество мест в ряду во втором зале:

$m_2 = m_1 + 10 = 20 + 10 = 30$.

Проверка: В первом зале: 20 мест в ряду. Количество рядов $r_1 = 420/20 = 21$. Во втором зале: 30 мест в ряду. Количество рядов $r_2 = 480/30 = 16$. $r_1 - r_2 = 21 - 16 = 5$. Условия задачи выполняются.

Ответ: в первом зале 20 мест в ряду, во втором зале 30 мест в ряду.

4) Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 13, \\ x + y = -2. \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -2 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (-2 - x)^2 - x(-2 - x) = 13$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + (4 + 4x + x^2) - (-2x - x^2) = 13$

$x^2 + 4 + 4x + x^2 + 2x + x^2 = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 6x + 4 = 13$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -2 - x_1 = -2 - 1 = -3$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -2 - x_2 = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; -3)$, $(-3; 1)$.

34. 1) Вычислите, используя, где возможно, формулы сокращённого умножения:

$\frac{0,12^3 - 0,28^3}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28.$

2) В арифметической прогрессии $\frac{a_{133}}{a_5} = 17$. Найдите $\frac{a_{25}}{a_{47}}$.

3) Упростите выражение $\frac{xy}{x - y} \cdot \left(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}\right)$, найдите значение этого выражения, если $x + y = 1,7$.

4) Решите систему уравнений

$$\begin{cases} \frac{3x - 1}{y + 1} - \frac{3y - 1}{x + 1} = 2, \\ \frac{3y + 3}{3x - 1} + \frac{2x + 2}{3y - 1} = 1. \end{cases}$$

1) Для вычисления используем формулы сокращённого умножения. Пусть $a = 0,12$ и $b = 0,28$. Тогда выражение можно переписать как $\frac{a^3 - b^3}{0,16} - ab$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Вычислим разность $a - b = 0,12 - 0,28 = -0,16$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(0,12 - 0,28)(0,12^2 + 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2)}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28 = \frac{-0,16(0,12^2 + 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2)}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28$.
Сократив дробь на $0,16$, получим:
$-(0,12^2 + 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2) - 0,12 \cdot 0,28$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-0,12^2 - 0,12 \cdot 0,28 - 0,28^2 - 0,12 \cdot 0,28 = -0,12^2 - 2 \cdot 0,12 \cdot 0,28 - 0,28^2$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(0,12^2 + 2 \cdot 0,12 \cdot 0,28 + 0,28^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$-(0,12 + 0,28)^2 = -(0,4)^2 = -0,16$.
Ответ: $-0,16$.

2) Член арифметической прогрессии $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$ находится по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Используем данное в условии соотношение:
$\frac{a_{133}}{a_5} = \frac{a_1 + (133-1)d}{a_1 + (5-1)d} = \frac{a_1 + 132d}{a_1 + 4d} = 17$.
Отсюда выразим $a_1$ через $d$ (при условии, что $a_5 \neq 0$):
$a_1 + 132d = 17(a_1 + 4d)$
$a_1 + 132d = 17a_1 + 68d$
$132d - 68d = 17a_1 - a_1$
$64d = 16a_1$
$a_1 = 4d$.
(Если $d=0$, то и $a_1=0$, тогда все члены прогрессии равны нулю, а $a_5=0$, что делает исходное выражение бессмысленным. Следовательно, $d \neq 0$).
Теперь найдем искомое отношение, подставив $a_1=4d$ в выражение для $\frac{a_{25}}{a_{47}}$:
$\frac{a_{25}}{a_{47}} = \frac{a_1 + (25-1)d}{a_1 + (47-1)d} = \frac{a_1 + 24d}{a_1 + 46d} = \frac{4d + 24d}{4d + 46d} = \frac{28d}{50d}$.
Так как $d \neq 0$, сокращаем на $d$:
$\frac{28}{50} = \frac{14}{25} = 0,56$.
Ответ: $0,56$.

3) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$ (при $x \neq 0, y \neq 0$):
$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{xy}{x-y} \cdot \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Сократим на $xy$ (при $x \neq y$):
$\frac{y^2 - x^2}{x-y}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{(y-x)(y+x)}{x-y}$.
Так как $y-x = -(x-y)$, мы можем сократить дробь:
$\frac{-(x-y)(y+x)}{x-y} = -(y+x) = -(x+y)$.
По условию $x+y=1,7$.
Следовательно, значение выражения равно $-(1,7) = -1,7$.
Ответ: $-1,7$.

4) Область допустимых значений (ОДЗ): $y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$; $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$; $3x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1/3$; $3y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1/3$.
Упростим второе уравнение системы: $\frac{3(y+1)}{3x-1} + \frac{2(x+1)}{3y-1} = 1$.
Введем замену переменных. Пусть $A = \frac{3x-1}{y+1}$ и $B = \frac{3y-1}{x+1}$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases} A - B = 2 \\ \frac{3}{A} + \frac{2}{B} = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения выражаем $A = B+2$ и подставляем во второе:
$\frac{3}{B+2} + \frac{2}{B} = 1$.
Приводим к общему знаменателю $B(B+2)$ (при $B \neq 0, B \neq -2$):
$3B + 2(B+2) = B(B+2)$
$5B + 4 = B^2 + 2B$
$B^2 - 3B - 4 = 0$.
Корни квадратного уравнения: $B_1 = 4$ и $B_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $A$:
Если $B_1 = 4$, то $A_1 = 4+2 = 6$.
Если $B_2 = -1$, то $A_2 = -1+2 = 1$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $A=6, B=4$.
$\begin{cases} \frac{3x-1}{y+1} = 6 \\ \frac{3y-1}{x+1} = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x-1 = 6y+6 \\ 3y-1 = 4x+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 6y = 7 \\ 4x - 3y = -5 \end{cases}$.
Умножим второе уравнение на $-2$: $ -8x + 6y = 10$. Сложим с первым уравнением: $(3x - 6y) + (-8x + 6y) = 7 + 10 \Rightarrow -5x = 17 \Rightarrow x = -\frac{17}{5}$.
Найдем $y$ из уравнения $3y = 4x+5$: $3y = 4(-\frac{17}{5}) + 5 = -\frac{68}{5} + \frac{25}{5} = -\frac{43}{5} \Rightarrow y = -\frac{43}{15}$.
Первое решение: $(-\frac{17}{5}; -\frac{43}{15})$.
Случай 2: $A=1, B=-1$.
$\begin{cases} \frac{3x-1}{y+1} = 1 \\ \frac{3y-1}{x+1} = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x-1 = y+1 \\ 3y-1 = -x-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3x-2 \\ 3y+x = 0 \end{cases}$.
Подставим $y$ из первого уравнения во второе: $3(3x-2) + x = 0 \Rightarrow 9x-6+x=0 \Rightarrow 10x=6 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$.
Найдем $y$: $y = 3x-2 = 3(\frac{3}{5}) - 2 = \frac{9}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{1}{5}$.
Второе решение: $(\frac{3}{5}; -\frac{1}{5})$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(-\frac{17}{5}; -\frac{43}{15})$, $(\frac{3}{5}; -\frac{1}{5})$.

35. 1) Выполните указанные действия: $(\frac{1}{2}\sqrt{32} - \frac{1}{3}\sqrt{3} + 4\sqrt{15})\cdot\sqrt{12} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}.$

2) Бак объемом 1 м³ заполняется двумя насосами одновременно. Первый насос перекачивает за 1 ч на 1 м³ воды больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый насос в отдельности может наполнить бак, если первому насосу нужно для этого на 5 мин меньше, чем второму.

3) Упростите выражение $\frac{xy}{x+y}\cdot\left(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}\right)$, найдите значение этого выражения, если $x - y = 2,9.$

4) Решите систему уравнений

1) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{2}\sqrt{32} - \frac{1}{3}\sqrt{3} + 4\sqrt{15}) \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}}$.
Для того чтобы это выражение имело смысл в области действительных чисел, подкоренное выражение второго множителя должно быть неотрицательным.
Оценим значение выражения $12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}$.
Используем приблизительные значения корней: $\sqrt{6} \approx 2,45$ и $\sqrt{5} \approx 2,24$.
$12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} \approx 12 - 4 \cdot 2,45 - 24 \cdot 2,24 = 12 - 9,8 - 53,76 = 2,2 - 53,76 = -51,56$.
Докажем, что это значение отрицательно, без калькулятора.
Нам нужно сравнить $12$ и $4\sqrt{6} + 24\sqrt{5}$.
Мы знаем, что $2 < \sqrt{6}$ и $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, $4\sqrt{6} > 4 \cdot 2 = 8$.
И $24\sqrt{5} > 24 \cdot 2 = 48$.
Тогда $4\sqrt{6} + 24\sqrt{5} > 8 + 48 = 56$.
Так как $12 < 56$, то $12 - (4\sqrt{6} + 24\sqrt{5}) < 0$.
Поскольку выражение под знаком корня отрицательно ($12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} < 0$), квадратный корень из него не определен в множестве действительных чисел. Следовательно, все выражение не определено.
Ответ: Выражение не определено в области действительных чисел, так как подкоренное выражение $12 - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}$ отрицательно.

2) Пусть $p_1$ (м³/ч) – производительность первого насоса, а $p_2$ (м³/ч) – производительность второго насоса. Объем бака $V = 1$ м³.
По условию, первый насос перекачивает за 1 час на 1 м³ воды больше, чем второй, значит:
$p_1 = p_2 + 1$.
Время, за которое первый насос наполнит бак: $t_1 = \frac{V}{p_1} = \frac{1}{p_1}$.
Время, за которое второй насос наполнит бак: $t_2 = \frac{V}{p_2} = \frac{1}{p_2}$.
Первому насосу нужно на 5 минут меньше, чем второму. Переведем 5 минут в часы: $5 \text{ мин} = \frac{5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{12} \text{ ч}$.
Составим уравнение по времени: $t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$.
$\frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_1} = \frac{1}{12}$.
Подставим в это уравнение $p_1 = p_2 + 1$:
$\frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_2 + 1} = \frac{1}{12}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(p_2 + 1) - p_2}{p_2(p_2 + 1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{p_2^2 + p_2} = \frac{1}{12}$.
Отсюда получаем квадратное уравнение: $p_2^2 + p_2 = 12$, или $p_2^2 + p_2 - 12 = 0$.
Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $p_{2,1} = 3$ и $p_{2,2} = -4$.
Производительность не может быть отрицательной, поэтому $p_2 = 3$ м³/ч.
Тогда производительность первого насоса: $p_1 = p_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м³/ч.
Найдем время, за которое каждый насос наполнит бак:
Время для первого насоса: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{4}$ часа, что составляет $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ минут.
Время для второго насоса: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{3}$ часа, что составляет $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.
Проверка: $20 - 15 = 5$ минут. Условие выполняется.
Ответ: Первый насос может наполнить бак за 15 минут, а второй – за 20 минут.

3) Сначала упростим данное выражение: $\frac{xy}{x+y} \cdot (\frac{y}{x} - \frac{x}{y})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y - x \cdot x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{xy}{x+y} \cdot \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
Сократим $xy$ в числителе и знаменателе (при условии $x \neq 0, y \neq 0$):
$\frac{y^2 - x^2}{x+y}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$.
Выражение примет вид:
$\frac{(y-x)(y+x)}{x+y}$.
Сократим на $(x+y)$ (при условии $x+y \neq 0$):
$y-x$.
Теперь найдем значение этого выражения, зная, что $x - y = 2,9$.
$y - x = -(x - y) = -2,9$.
Ответ: Упрощенное выражение равно $y-x$, его значение равно -2,9.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x-y} + x + 1 = 0 \\ \frac{x}{x-y} + 2 = 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x-y \neq 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $z = \frac{1}{x-y}$. Тогда $\frac{x}{x-y} = x \cdot \frac{1}{x-y} = xz$.
Система примет вид:
$\begin{cases} z + x + 1 = 0 \\ xz + 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = -z - 1$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(-z-1)z + 2 = 0$
$-z^2 - z + 2 = 0$
$z^2 + z - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $z$. По теореме Виета находим корни: $z_1 = 1$ и $z_2 = -2$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $z = 1$.
Найдем $x$: $x = -z - 1 = -1 - 1 = -2$.
Вернемся к замене: $z = \frac{1}{x-y}$.
$1 = \frac{1}{-2 - y}$
$-2 - y = 1$
$y = -3$.
Получили первую пару решений: $(-2; -3)$. Проверим ОДЗ: $x-y = -2 - (-3) = 1 \neq 0$.
Случай 2: $z = -2$.
Найдем $x$: $x = -z - 1 = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$.
Вернемся к замене: $z = \frac{1}{x-y}$.
$-2 = \frac{1}{1 - y}$
$-2(1-y) = 1$
$-2 + 2y = 1$
$2y = 3$
$y = \frac{3}{2}$ или $y = 1,5$.
Получили вторую пару решений: $(1; \frac{3}{2})$. Проверим ОДЗ: $x-y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0$.
Ответ: $(-2; -3)$, $(1; \frac{3}{2})$.