Номер 33, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

33. 1) Решите уравнение $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0.$

2) Решите неравенство $\frac{1}{9}x^2 \le 1$ и укажите все его целые решения.

3) В первом зрительном зале 420 мест, а во втором 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом из залов?

4) Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 13, \\ x + y = -2. \end{cases}$

1) Решите уравнение $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x^2 + x \neq 0 \implies x(x+1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -1$.

$x \neq 0$.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{2x + 5}{x(x + 1)} - \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{3x \cdot x}{x(x + 1)} = 0$.

Так как мы учли ОДЗ, мы можем приравнять числитель к нулю:

$(2x + 5) - 2(x + 1) - 3x^2 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x + 5 - 2x - 2 - 3x^2 = 0$

$3 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

2) Решите неравенство $\frac{1}{9}x^2 \le 1$ и укажите все его целые решения.

Умножим обе части неравенства на 9. Так как 9 > 0, знак неравенства не изменится:

$x^2 \le 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$x^2 - 9 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x = 3$ и $x = -3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят прямую на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, значения функции будут меньше или равны нулю между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-3; 3]$.

Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: $x \in [-3; 3]$; целые решения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3) В первом зрительном зале 420 мест, а во втором 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом из залов?

Пусть $r_1$ - количество рядов в первом зале, а $m_1$ - количество мест в ряду в первом зале.

Пусть $r_2$ - количество рядов во втором зале, а $m_2$ - количество мест в ряду во втором зале.

По условию задачи составим систему уравнений:

1) $r_1 \cdot m_1 = 420$ (общее количество мест в первом зале)

2) $r_2 \cdot m_2 = 480$ (общее количество мест во втором зале)

3) $r_2 = r_1 - 5$ (во втором зале на 5 рядов меньше)

4) $m_2 = m_1 + 10$ (во втором зале на 10 мест в ряду больше)

Подставим выражения для $r_2$ и $m_2$ из уравнений (3) и (4) в уравнение (2):

$(r_1 - 5)(m_1 + 10) = 480$

Из первого уравнения выразим $r_1$: $r_1 = \frac{420}{m_1}$.

Подставим это выражение в полученное уравнение:

$(\frac{420}{m_1} - 5)(m_1 + 10) = 480$

Раскроем скобки:

$\frac{420}{m_1} \cdot m_1 + \frac{420}{m_1} \cdot 10 - 5 \cdot m_1 - 5 \cdot 10 = 480$

$420 + \frac{4200}{m_1} - 5m_1 - 50 = 480$

$370 + \frac{4200}{m_1} - 5m_1 = 480$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{4200}{m_1} - 5m_1 - 110 = 0$

Умножим все уравнение на $m_1$ (так как $m_1 \neq 0$):

$4200 - 5m_1^2 - 110m_1 = 0$

Разделим на -5 для упрощения:

$m_1^2 + 22m_1 - 840 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 484 + 3360 = 3844$

$\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$

Найдем корни:

$m_{1,1} = \frac{-22 + 62}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$m_{1,2} = \frac{-22 - 62}{2 \cdot 1} = \frac{-84}{2} = -42$

Количество мест в ряду не может быть отрицательным, поэтому $m_1 = 20$.

Теперь найдем количество мест в ряду во втором зале:

$m_2 = m_1 + 10 = 20 + 10 = 30$.

Проверка: В первом зале: 20 мест в ряду. Количество рядов $r_1 = 420/20 = 21$. Во втором зале: 30 мест в ряду. Количество рядов $r_2 = 480/30 = 16$. $r_1 - r_2 = 21 - 16 = 5$. Условия задачи выполняются.

Ответ: в первом зале 20 мест в ряду, во втором зале 30 мест в ряду.

4) Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 13, \\ x + y = -2. \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -2 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (-2 - x)^2 - x(-2 - x) = 13$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + (4 + 4x + x^2) - (-2x - x^2) = 13$

$x^2 + 4 + 4x + x^2 + 2x + x^2 = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 6x + 4 = 13$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -2 - x_1 = -2 - 1 = -3$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -2 - x_2 = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; -3)$, $(-3; 1)$.