Номер 31, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

31. 1) Найдите значение выражения $\sqrt{18} - (\sqrt{32} - (5\sqrt{2} + \sqrt{200}))$.

2) Укажите точки пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ с осями координат.

3) Найдите область определения функции $y = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 1}}$.

4) Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - 6y = -14, \\ y^2 - 4x = 1. \end{cases}$

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{18} - (\sqrt{32} - (5\sqrt{2} + \sqrt{200}))$ сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - (5\sqrt{2} + 10\sqrt{2}))$
Выполним действия в скобках, начиная с внутренних:
$5\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$
Теперь выражение выглядит так:
$3\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - 15\sqrt{2})$
Выполним вычитание в оставшихся скобках:
$4\sqrt{2} - 15\sqrt{2} = -11\sqrt{2}$
И, наконец, выполним последнее действие:
$3\sqrt{2} - (-11\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 11\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$
Ответ: $14\sqrt{2}$.

2) График функции $y = \sqrt{x}$. Найдем точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью OY (ось ординат):
Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y = \sqrt{0} = 0$
Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
Пересечение с осью OX (ось абсцисс):
Для этого нужно подставить $y=0$ в уравнение функции:
$0 = \sqrt{x}$
Возведя обе части в квадрат, получим $x = 0$.
Точка пересечения с осью OX: $(0, 0)$.
Таким образом, график функции пересекает оси координат в одной точке — начале координат.
Ответ: $(0, 0)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-2}{x+1}}$ — это множество всех значений $x$, при которых выражение под корнем неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.
Это равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} \frac{x-2}{x+1} \ge 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases}$
Из второго условия следует, что $x \neq -1$.
Для решения первого неравенства $\frac{x-2}{x+1} \ge 0$ используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$
Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$
Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=2$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ — выколотой (т.к. знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2]$, $[2, +\infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x-2}{x+1}$ на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty, -1)$: возьмем $x=-2$, получим $\frac{-2-2}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$.
- На интервале $(-1, 2]$: возьмем $x=0$, получим $\frac{0-2}{0+1} = -2 < 0$.
- На интервале $[2, +\infty)$: возьмем $x=3$, получим $\frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} > 0$.
Нас интересуют интервалы, где выражение неотрицательно. Это $(-\infty, -1)$ и $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [2, +\infty)$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 6y = -14 \\ y^2 - 4x = 1 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(x^2 - 6y) + (y^2 - 4x) = -14 + 1$
$x^2 - 4x + y^2 - 6y = -13$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и дополним их до полных квадратов:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = -13$
Свернем полные квадраты:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 - 13 = -13$
Прибавим 13 к обеим частям уравнения:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 0$
Сумма двух квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.
$(x-2)^2 = 0 \implies x-2=0 \implies x=2$
$(y-3)^2 = 0 \implies y-3=0 \implies y=3$
Мы получили единственное возможное решение $(2, 3)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения.
Проверка:
Первое уравнение: $x^2 - 6y = (2)^2 - 6(3) = 4 - 18 = -14$. Верно.
Второе уравнение: $y^2 - 4x = (3)^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$. Верно.
Решение удовлетворяет обоим уравнениям системы.
Ответ: $(2, 3)$.