Страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

8. 1) Вычислите $ \frac{(2,2 + 1,6) : 1,9}{(2,4 - 1,3) : 4,3} $

2) Упростите выражение $ \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} $

3) Решите систему уравнений графическим способом: $ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ x - 2y = 8. \end{cases} $

4) Скорость товарного поезда на 12 км/ч меньше скорости пассажирского поезда. Определите время, которое понадобится товарному поезду для прохождения участка длиной 52 км, если пассажирский поезд проходит такой участок быстрее товарного на 18 мин.

1)

Чтобы вычислить значение выражения, выполним действия по порядку. Сначала вычислим значения в числителе и знаменателе, а затем разделим их.

1. Вычислим выражение в числителе: $(2,2 + 1,6) : 1,9$.
$2,2 + 1,6 = 3,8$
$3,8 : 1,9 = 2$

2. Вычислим выражение в знаменателе: $(2,4 - 1,3) : 4,3$.
$2,4 - 1,3 = 1,1$
$1,1 : 4,3 = \frac{1,1}{4,3} = \frac{11}{43}$

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{2}{\frac{11}{43}} = 2 \cdot \frac{43}{11} = \frac{86}{11} = 7\frac{9}{11}$

Ответ: $7\frac{9}{11}$

2)

Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$, приведем дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей равен произведению их знаменателей: $(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)$.
По формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, получаем:
$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1) = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = a - 1$.
Область допустимых значений: $a \ge 0$ и $a-1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:
$\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} + \frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} = \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{a-1} + \frac{(\sqrt{a}+1)^2}{a-1}$

3. Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(\sqrt{a}-1)^2 + (\sqrt{a}+1)^2}{a-1}$

4. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(\sqrt{a}-1)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = a - 2\sqrt{a} + 1$
$(\sqrt{a}+1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = a + 2\sqrt{a} + 1$

5. Подставим раскрытые выражения в числитель и упростим:
$\frac{(a - 2\sqrt{a} + 1) + (a + 2\sqrt{a} + 1)}{a-1} = \frac{a+a - 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 1+1}{a-1} = \frac{2a+2}{a-1}$

6. Можно вынести общий множитель в числителе:
$\frac{2(a+1)}{a-1}$

Ответ: $\frac{2(a+1)}{a-1}$

3)

Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} 2x+y=1 \\ x-2y=8 \end{cases}$ графическим способом, нужно построить графики каждого уравнения и найти их точку пересечения.

1. Первое уравнение: $2x+y=1$. Это уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:
$y = -2x+1$
Для построения прямой найдем две точки:
- если $x=0$, то $y = -2(0)+1 = 1$. Точка A(0; 1).
- если $x=1$, то $y = -2(1)+1 = -1$. Точка B(1; -1).
Проводим прямую через точки A и B.

2. Второе уравнение: $x-2y=8$. Это также уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 8-x$
$2y = x-8$
$y = \frac{1}{2}x - 4$
Для построения прямой найдем две точки:
- если $x=0$, то $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$. Точка C(0; -4).
- если $x=4$, то $y = \frac{1}{2}(4) - 4 = 2-4=-2$. Точка D(4; -2).
Проводим прямую через точки C и D.

3. Построив оба графика в одной системе координат, находим их точку пересечения. Визуально определяем, что прямые пересекаются в точке с координатами $(2, -3)$.

4. Проверим, является ли точка $(2, -3)$ решением системы, подставив её координаты в оба уравнения:
$2(2) + (-3) = 4 - 3 = 1$ (Верно)
$2 - 2(-3) = 2 + 6 = 8$ (Верно)

Координаты точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям, значит, решение найдено верно.

Ответ: $(2; -3)$

4)

Пусть $x$ км/ч — скорость пассажирского поезда. Тогда скорость товарного поезда равна $(x-12)$ км/ч.
Расстояние, которое проходят поезда, равно 52 км.

Время, за которое пассажирский поезд проходит этот участок, равно $t_п = \frac{52}{x}$ часов.
Время, за которое товарный поезд проходит этот участок, равно $t_т = \frac{52}{x-12}$ часов.

По условию, пассажирский поезд проходит участок быстрее товарного на 18 минут. Переведем минуты в часы: 18 мин = $\frac{18}{60}$ ч = $\frac{3}{10}$ ч = 0,3 ч.
Разница во времени составляет: $t_т - t_п = 0,3$.

Составим и решим уравнение:
$\frac{52}{x-12} - \frac{52}{x} = 0,3$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-12)$:
$\frac{52x - 52(x-12)}{x(x-12)} = 0,3$
$\frac{52x - 52x + 624}{x^2 - 12x} = 0,3$
$\frac{624}{x^2 - 12x} = 0,3$

Используем основное свойство пропорции:
$0,3(x^2 - 12x) = 624$
$x^2 - 12x = \frac{624}{0,3}$
$x^2 - 12x = 2080$
$x^2 - 12x - 2080 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2080) = 144 + 8320 = 8464$
$\sqrt{D} = \sqrt{8464} = 92$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 92}{2} = \frac{104}{2} = 52$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 92}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -40$ не подходит. Следовательно, скорость пассажирского поезда равна 52 км/ч.

Скорость товарного поезда: $52 - 12 = 40$ км/ч.

Вопрос задачи — определить время, которое понадобится товарному поезду. Найдем это время:
$t_т = \frac{52 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = \frac{52}{40} = \frac{13}{10} = 1,3$ часа.

1,3 часа = 1 час и $0,3 \cdot 60 = 18$ минут.

Ответ: 1,3 часа (или 1 час 18 минут).

9. 1) Решите неравенство $3x^2 \leq 10x - 3.$

2) Упростите выражение $\sqrt[3]{\left(\frac{1}{8}\right)^2}$.

3) Решите уравнение $(x + 2)(x - 1)(x + 1) - (x - 2)(x - 3)(x + 3) + 3x - 49 = 0.$

4) Решите уравнение $\frac{5}{x^2} + \frac{4}{x} - 1 = 0.$

1) Решите неравенство $3x^2 \le 10x - 3$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$3x^2 - 10x + 3 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 10x + 3 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox или пересекает ее. Это происходит на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[\frac{1}{3}; 3]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 3]$.

2) Упростите выражение $\sqrt{\sqrt[3]{(\frac{1}{8})^2}}$.

Выполним преобразования по шагам, начиная с внутреннего выражения:

1. Возведем в квадрат дробь в скобках:

$(\frac{1}{8})^2 = \frac{1^2}{8^2} = \frac{1}{64}$

2. Извлечем кубический корень из полученного результата:

$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$, так как $4^3 = 64$.

3. Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Можно также использовать свойства степеней: $\sqrt{\sqrt[3]{a}} = (a^{1/3})^{1/2} = a^{1/6}$.

$\sqrt{\sqrt[3]{(\frac{1}{8})^2}} = \sqrt[6]{(\frac{1}{8})^2} = \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Решите уравнение $(x + 2)(x - 1)(x + 1) - (x - 2)(x - 3)(x + 3) + 3x - 49 = 0$.

Заметим, что в уравнении есть произведения, которые можно упростить с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$(x + 2)(x^2 - 1) - (x - 2)(x^2 - 9) + 3x - 49 = 0$

Теперь раскроем скобки:

$(x \cdot x^2 - x \cdot 1 + 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 1) - (x \cdot x^2 - x \cdot 9 - 2 \cdot x^2 + 2 \cdot 9) + 3x - 49 = 0$

$(x^3 - x + 2x^2 - 2) - (x^3 - 9x - 2x^2 + 18) + 3x - 49 = 0$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 - x^3 + 9x + 2x^2 - 18 + 3x - 49 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (2x^2 + 2x^2) + (-x + 9x + 3x) + (-2 - 18 - 49) = 0$

$4x^2 + 11x - 69 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-69) = 121 + 16 \cdot 69 = 121 + 1104 = 1225 = 35^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-11 - 35}{2 \cdot 4} = \frac{-46}{8} = -\frac{23}{4} = -5.75$

$x_2 = \frac{-11 + 35}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: $x_1 = -5.75$, $x_2 = 3$.

4) Решите уравнение $\frac{5}{x^2} + \frac{4}{x} - 1 = 0$.

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ne 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 \cdot (\frac{5}{x^2} + \frac{4}{x} - 1) = x^2 \cdot 0$

$5 + 4x - x^2 = 0$

Умножим на -1 для удобства и запишем в стандартном виде:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, произведение равно -5. Легко подобрать корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Или решим через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$

$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.

10. 1) Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$.

2) Решите уравнение $\sqrt{x - 3} = 3$.

3) Упростите выражение $\left( \frac{6a + 3}{a^2 - 18a} + \frac{6a - 3}{a^2 + 18a} \right) \cdot \frac{a^2 - 324}{a^2 + 9}$.

4) Решите уравнение $(x^2 + 1)(x - 2) - (x^2 + 3)(x - 1) + 7x - 1 = 0$.

1) Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$.

Данная функция является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: оси координат. Горизонтальная асимптота — ось $Ox$ ($y=0$), вертикальная асимптота — ось $Oy$ ($x=0$).
• Так как коэффициент $k=3$ положителен ($k>0$), ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Для построения графика нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавными линиями, не пересекающими оси координат.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, проходящая через точки (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1) и другие, указанные в таблице. Асимптоты графика — оси $Ox$ и $Oy$.

2) Решите уравнение $\sqrt{x - 3} = 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$

Теперь решим уравнение. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x - 3})^2 = 3^2$
$x - 3 = 9$
$x = 9 + 3$
$x = 12$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $12 \ge 3$, корень подходит.
Можно также выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3$
$3 = 3$ (верно).

Ответ: 12

3) Упростите выражение $\left(\frac{6a+3}{a^2-18a} + \frac{6a-3}{a^2+18a}\right) \cdot \frac{a^2-324}{a^2+9}$.

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках.
1. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители:
$a^2 - 18a = a(a-18)$
$a^2 + 18a = a(a+18)$
Общий знаменатель: $a(a-18)(a+18)$.

$\frac{6a+3}{a(a-18)} + \frac{6a-3}{a(a+18)} = \frac{(6a+3)(a+18) + (6a-3)(a-18)}{a(a-18)(a+18)}$

Раскроем скобки в числителе:
$(6a+3)(a+18) = 6a^2 + 108a + 3a + 54 = 6a^2 + 111a + 54$
$(6a-3)(a-18) = 6a^2 - 108a - 3a + 54 = 6a^2 - 111a + 54$
Сложим полученные выражения:
$(6a^2 + 111a + 54) + (6a^2 - 111a + 54) = 12a^2 + 108 = 12(a^2 + 9)$

Результат первого действия: $\frac{12(a^2+9)}{a(a-18)(a+18)}$.

2. Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$a^2 - 324 = a^2 - 18^2 = (a-18)(a+18)$.

$\frac{12(a^2+9)}{a(a-18)(a+18)} \cdot \frac{(a-18)(a+18)}{a^2+9}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(a^2+9)$, $(a-18)$ и $(a+18)$.
$\frac{12(\cancel{a^2+9})}{a(\cancel{a-18})(\cancel{a+18})} \cdot \frac{(\cancel{a-18})(\cancel{a+18})}{\cancel{a^2+9}} = \frac{12}{a}$

Область допустимых значений исходного выражения: $a \ne 0$, $a \ne 18$, $a \ne -18$.

Ответ: $\frac{12}{a}$

4) Решите уравнение $(x^2 + 1)(x - 2) - (x^2 + 3)(x - 1) + 7x - 1 = 0$.

Раскроем скобки в левой части уравнения.
$(x^2 + 1)(x - 2) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 2 + 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = x^3 - 2x^2 + x - 2$
$(x^2 + 3)(x - 1) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = x^3 - x^2 + 3x - 3$

Подставим полученные выражения в уравнение:
$(x^3 - 2x^2 + x - 2) - (x^3 - x^2 + 3x - 3) + 7x - 1 = 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$x^3 - 2x^2 + x - 2 - x^3 + x^2 - 3x + 3 + 7x - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-2x^2 + x^2) + (x - 3x + 7x) + (-2 + 3 - 1) = 0$
$0 - x^2 + 5x + 0 = 0$
$-x^2 + 5x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:
$x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0$
$x_2 = 5$

Ответ: 0; 5

11. 1) Два автомобиля выезжают из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он проезжает весь путь на 1 ч быстрее второго. Определите скорости автомобилей, если расстояние между городами равно 560 км.

2) Решите уравнение $ \frac{x^2 + 2x + 2}{4} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{3x^2 + 2x}{8} $

3) Решите неравенство $ 4x^2 + 6x < 9x^2 - 14x $

4) Постройте график функции $ y = -\frac{6}{x} $.

1)

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля равна $(x + 10)$ км/ч. Расстояние между городами составляет 560 км.

Время, которое потратил на путь второй автомобиль, равно $t_2 = \frac{560}{x}$ часов.

Время, которое потратил на путь первый автомобиль, равно $t_1 = \frac{560}{x+10}$ часов.

По условию, первый автомобиль проезжает весь путь на 1 час быстрее второго, следовательно, разница во времени составляет 1 час:

$t_2 - t_1 = 1$

$\frac{560}{x} - \frac{560}{x+10} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+10)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$.

$560(x+10) - 560x = x(x+10)$

$560x + 5600 - 560x = x^2 + 10x$

$5600 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 5600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + 150}{2 \cdot 1} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-10 - 150}{2 \cdot 1} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.

Тогда скорость первого автомобиля равна $x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.

2)

Дано уравнение:

$\frac{x^2+2x+2}{4} - \frac{2x+1}{6} = \frac{3x^2+2x}{8}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4, 6 и 8. Это число 24. Умножим обе части уравнения на 24, чтобы избавиться от дробей:

$24 \cdot \frac{x^2+2x+2}{4} - 24 \cdot \frac{2x+1}{6} = 24 \cdot \frac{3x^2+2x}{8}$

$6(x^2+2x+2) - 4(2x+1) = 3(3x^2+2x)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 12x + 12 - 8x - 4 = 9x^2 + 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$6x^2 + 4x + 8 = 9x^2 + 6x$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$0 = 9x^2 - 6x^2 + 6x - 4x - 8$

$0 = 3x^2 + 2x - 8$

Решим полученное квадратное уравнение $3x^2 + 2x - 8 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

$\sqrt{D} = 10$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $x_1 = \frac{4}{3}$, $x_2 = -2$.

3)

Дано неравенство:

$4x^2 + 6x < 9x^2 - 14x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $f(x) > 0$:

$0 < 9x^2 - 4x^2 - 14x - 6x$

$0 < 5x^2 - 20x$

или

$5x^2 - 20x > 0$

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $5x^2 - 20x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки:

$5x(x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $5x(x-4)$ в каждом интервале.

Графиком функции $y = 5x^2 - 20x$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($5>0$). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $5x(x - 4) > 0$ выполняется при $x < 0$ или $x > 4$.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

4)

Функция $y = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).
• Так как коэффициент $k = -6$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для каждой ветви.

Ветвь во II четверти ($x < 0$):

Ветвь в IV четверти ($x > 0$):

График строится путем нанесения этих точек на координатную плоскость и соединения их плавными линиями, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая через точки, указанные в таблицах, и имеющая асимптоты $x=0$ и $y=0$.