Номер 23, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

23. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 10, разность равна 4. Найдите её одиннадцатый член и сумму первых одиннадцати членов.

2) Решите систему неравенств

$ \begin{cases} 5(x + 1) - 9x - 3 > -6(x + 2), \\ 3(3 + 2x) < 7x - 2(x - 8). \end{cases} $

3) Решите систему уравнений

$ \begin{cases} 3(x - 1) = 5(y + 1), \\ \frac{7x - 3y}{5} = \frac{5x - y}{3} - \frac{x + y}{2}. \end{cases} $

4) Решите уравнение $3x^4 - 28x^2 + 9 = 0$.

1) Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 10$ и разность $d = 4$.
Для нахождения одиннадцатого члена прогрессии воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для $n=11$:
$a_{11} = 10 + (11-1) \cdot 4 = 10 + 10 \cdot 4 = 10 + 40 = 50$.
Для нахождения суммы первых одиннадцати членов воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения для $n=11$, используя найденный $a_{11}$:
$S_{11} = \frac{10 + 50}{2} \cdot 11 = \frac{60}{2} \cdot 11 = 30 \cdot 11 = 330$.
Ответ: одиннадцатый член равен 50, сумма первых одиннадцати членов равна 330.

2) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 5(x + 1) - 9x - 3 > -6(x + 2) \\ 3(3 + 2x) < 7x - 2(x - 8) \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$5(x + 1) - 9x - 3 > -6(x + 2)$
$5x + 5 - 9x - 3 > -6x - 12$
$-4x + 2 > -6x - 12$
$-4x + 6x > -12 - 2$
$2x > -14$
$x > -7$
Теперь решим второе неравенство:
$3(3 + 2x) < 7x - 2(x - 8)$
$9 + 6x < 7x - 2x + 16$
$9 + 6x < 5x + 16$
$6x - 5x < 16 - 9$
$x < 7$
Объединим решения обоих неравенств: $x > -7$ и $x < 7$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $-7 < x < 7$.
Решением системы является интервал $(-7; 7)$.
Ответ: $x \in (-7; 7)$.

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3(x - 1) = 5(y + 1) \\ \frac{7x - 3y}{5} = \frac{5x - y}{3} - \frac{x + y}{2} \end{cases}$
Упростим первое уравнение:
$3x - 3 = 5y + 5$
$3x - 5y = 8$
Теперь упростим второе уравнение. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель дробей, который равен 30:
$30 \cdot \frac{7x - 3y}{5} = 30 \cdot \frac{5x - y}{3} - 30 \cdot \frac{x + y}{2}$
$6(7x - 3y) = 10(5x - y) - 15(x + y)$
$42x - 18y = 50x - 10y - 15x - 15y$
$42x - 18y = (50x - 15x) + (-10y - 15y)$
$42x - 18y = 35x - 25y$
$42x - 35x = -25y + 18y$
$7x = -7y$
$x = -y$
Теперь у нас есть упрощенная система:
$\begin{cases} 3x - 5y = 8 \\ x = -y \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое:
$3(-y) - 5y = 8$
$-3y - 5y = 8$
$-8y = 8$
$y = -1$
Найдем $x$ из уравнения $x = -y$:
$x = -(-1) = 1$
Ответ: $(1; -1)$.

4) Решим биквадратное уравнение $3x^4 - 28x^2 + 9 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$3t^2 - 28t + 9 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x^2 = t_1 = 9$
$x = \pm \sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
2) $x^2 = t_2 = \frac{1}{3}$
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$x_3 = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $x_4 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-3; 3; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.